Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 14

Упражнение 242 к § 14

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение 12/(x² − 2x + 3) = x² − 2x − 1, используя новую переменную. Задание для работы в парах.

Решение

Пусть $$t = x^2 - 2x + 3$$ . Тогда $$x^2 - 2x - 1 = t - 4$$ , и уравнение принимает вид $\dfrac{12}{t} = t - 4$ , $t \ne 0$ .

$$t^2 - 4t - 12 = 0$$ , откуда $$t = 6$$ или $$t = -2$$ .

Заметим, что $t = (x - 1)^2 + 2 \ge 2$ , поэтому $$t = -2$$ невозможно.

$$x^2 - 2x + 3 = 6$$ , откуда $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ , $$x_1 = 3$$ , $$x_2 = -1$$ . При этих $$x$$ знаменатель равен $6 \ne 0$ .

Ответ

x₁ = −1, x₂ = 3

Почему так

Повторяющийся трёхчлен заменяют новой переменной, решают уравнение для неё и возвращаются к x.

Условие (кратко)

б) Решить уравнение 12/(x² + x − 10) − 6/(x² + x − 6) = 5/(x² + x − 11), используя новую переменную. Задание для работы в парах.

Решение

Пусть $$t = x^2 + x$$ . Тогда $\dfrac{12}{t - 10} - \dfrac{6}{t - 6} = \dfrac{5}{t - 11}$ , $t \ne 6;\ 10;\ 11$ .

Умножим на $$(t - 10)(t - 6)(t - 11)$$ :

\[12(t - 6)(t - 11) - 6(t - 10)(t - 11) = 5(t - 10)(t - 6),\]

\[6t^2 - 78t + 132 = 5t^2 - 80t + 300,\]

\[t^2 + 2t - 168 = 0.\]

\(D = 4 + 672 = 676 = 26^2\)

\(t = 12\)

или

\(t = -14\)

$$x^2 + x = 12$$ , откуда $$x_1 = 3$$ , $$x_2 = -4$$ . $$x^2 + x = -14$$ , откуда $$D = 1 - 56 < 0$$ , корней нет.

При $$t = 12$$ знаменатели равны 2, 6 и 1 — не нули.

Ответ

x₁ = −4, x₂ = 3

Почему так

Во всех знаменателях повторяется x² + x — его и обозначают новой переменной.

Условие (кратко)

в) Решить уравнение 16/(x² − 2x) − 11/(x² − 2x + 3) = 9/(x² − 2x + 1), используя новую переменную. Задание для работы в парах.

Решение

Пусть $$t = x^2 - 2x$$ . Тогда $\dfrac{16}{t} - \dfrac{11}{t + 3} = \dfrac{9}{t + 1}$ , $t \ne 0;\ -1;\ -3$ .

Умножим на $$t(t + 3)(t + 1)$$ :

\[16(t + 3)(t + 1) - 11t(t + 1) = 9t(t + 3),\]

\[5t^2 + 53t + 48 = 9t^2 + 27t,\]

\[2t^2 - 13t - 24 = 0.\]

\(D = 169 + 192 = 361 = 19^2\)

\(t = 8\)

или

\(t = -1{,}5\)

$$x^2 - 2x = 8$$ , откуда $$x_1 = 4$$ , $$x_2 = -2$$ . $x^2 - 2x = -1{,}5$ , откуда $$D = 4 - 6 < 0$$ , корней нет.

При $$t = 8$$ знаменатели равны 8, 11 и 9.

Ответ

x₁ = −2, x₂ = 4

Почему так

Замена t = x² − 2x сводит уравнение к квадратному относительно t.