Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 14

Упражнение 243 к § 14

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти корни уравнения ((x + 2)/(x − 4))² + 16((x − 4)/(x + 2))² = 17.

Решение

ОДЗ: $x \ne 4$ , $x \ne -2$ .

Пусть $t = \dfrac{x + 2}{x - 4}$ , тогда $\dfrac{x - 4}{x + 2} = \dfrac{1}{t}$ и $t^2 + \dfrac{16}{t^2} = 17$ .

Умножим на $$t^2$$ и получим $$t^4 - 17t^2 + 16 = 0$$ , откуда $$t^2 = 1$$ или $$t^2 = 16$$ , то есть $t = \pm 1$ , $t = \pm 4$ .

Все три числа входят в ОДЗ.

Ответ

x = 1; 2,8; 6

Почему так

Взаимно обратные дроби заменяют на t и 1/t — получается биквадратное уравнение.

Условие (кратко)

б) Найти корни уравнения ((x + 1)/(x − 3))² + 18((x − 3)/(x + 1))² = 11.

Решение

ОДЗ: $x \ne 3$ , $x \ne -1$ .

Пусть $t = \dfrac{x + 1}{x - 3}$ . Тогда $t^2 + \dfrac{18}{t^2} = 11$ , $$t^4 - 11t^2 + 18 = 0$$ , откуда $$t^2 = 9$$ или $$t^2 = 2$$ .

$$t = 3$$ , откуда $$x + 1 = 3x - 9$$ , $$x = 5$$ .
$$t = -3$$ , откуда $$x + 1 = -3x + 9$$ , $$x = 2$$ .
$t = \sqrt{2}$ , откуда $x + 1 = \sqrt{2}x - 3\sqrt{2}$ , $x = \dfrac{1 + 3\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = (1 + 3\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1) = 7 + 4\sqrt{2}$ .
$t = -\sqrt{2}$ , откуда $x + 1 = -\sqrt{2}x + 3\sqrt{2}$ , $x = \dfrac{3\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} = (3\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} - 1) = 7 - 4\sqrt{2}$ .

Все четыре числа входят в ОДЗ.

Ответ

x = 2; 5; 7 − 4√2; 7 + 4√2

Почему так

Замена t = (x + 1)/(x − 3) приводит к биквадратному уравнению, иррациональность в знаменателе устраняют.