Задача 1
Существует ли положительное число, у которого сумма с обратным числом в 13 раз меньше суммы кубов этих чисел? Задача-исследование.
Решение
Пусть \(x > 0\) — искомое число. Условие: \(13\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = x^3 + \dfrac{1}{x^3}\).
Введём \(s = x + \dfrac{1}{x}\). Так как \(\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^3 = x^3 + \dfrac{1}{x^3} + 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right)\), то \(x^3 + \dfrac{1}{x^3} = s^3 - 3s\).
Уравнение: \(13s = s^3 - 3s\), \(s(s^2 - 16) = 0\), откуда \(s = 0\) или \(s = \pm 4\).
При \(x > 0\) сумма \(x + \dfrac{1}{x}\) положительна, подходит только \(s = 4\), откуда \(x^2 - 4x + 1 = 0\), \(x = 2 \pm \sqrt{3}\). Оба числа положительны.
Проверка для \(x = 2 + \sqrt{3}\), откуда \(\dfrac{1}{x} = 2 - \sqrt{3}\), сумма равна 4, сумма кубов \(2(8 + 18) = 52 = 13 \cdot 4\).
Ответ
Сумма кубов числа и обратного выражается через s = x + 1/x, и задача сводится к уравнению относительно s.
Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».