Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 14

Упражнение 245 к § 14

§ 14. Дробные рациональные уравнения · тема: Дробные рациональные уравнения

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение x² + 1/x² − 1/2·(x − 1/x) = 3 1/2 (повышенной трудности).

Решение

ОДЗ: $x \ne 0$ .

Пусть $y = x - \dfrac{1}{x}$ . Тогда $y^2 = x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2}$ , то есть $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = y^2 + 2$ .

Уравнение: $y^2 + 2 - \dfrac{y}{2} = \dfrac{7}{2}$ , $$2y^2 - y - 3 = 0$$ , $y = \dfrac{1 \pm 5}{4}$ , откуда $$y = 1{,}5$$ или $$y = -1$$ .

$x - \dfrac{1}{x} = 1{,}5$ , откуда $$2x^2 - 3x - 2 = 0$$ , $$x = 2$$ или $x = -\dfrac{1}{2}$ .
$x - \dfrac{1}{x} = -1$ , откуда $$x^2 + x - 1 = 0$$ , $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ .

Все четыре числа не равны нулю.

Ответ

x = −1/2; 2; (−1 − √5)/2; (−1 + √5)/2

Почему так

Выражение x² + 1/x² выражается через y = x − 1/x как y² + 2.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение x² + 1/x² − 1/3·(x + 1/x) = 8 (повышенной трудности).

Решение

ОДЗ: $x \ne 0$ .

Пусть $y = x + \dfrac{1}{x}$ . Тогда $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = y^2 - 2$ .

Уравнение: $y^2 - 2 - \dfrac{y}{3} = 8$ , $$3y^2 - y - 30 = 0$$ . $$D = 1 + 360 = 361$$ , $y = \dfrac{1 \pm 19}{6}$ , откуда $y = \dfrac{10}{3}$ или $$y = -3$$ .

$x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{10}{3}$ , откуда $$3x^2 - 10x + 3 = 0$$ , $$x = 3$$ или $x = \dfrac{1}{3}$ .
$x + \dfrac{1}{x} = -3$ , откуда $$x^2 + 3x + 1 = 0$$ , $x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ .

Все четыре числа не равны нулю.

Ответ

x = 1/3; 3; (−3 − √5)/2; (−3 + √5)/2

Почему так

Выражение x² + 1/x² выражается через y = x + 1/x как y² − 2.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки