Задача 1
Знаменатель обыкновенной дроби на 6 больше числителя. Если из числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 2, дробь уменьшится на 1/6. Найдите эту дробь.
Решение
- знаменатель на 6 больше числителя; после изменений дробь уменьшилась на \(\dfrac{1}{6}\)
- дробь
Пусть числитель \(x\) (\(x\) — натуральное), тогда знаменатель \(x + 6\), дробь \(\dfrac{x}{x + 6}\). Новая дробь \(\dfrac{x - 2}{x + 8}\). Она меньше данной на \(\dfrac{1}{6}\):
Умножим на \(6(x + 6)(x + 8)\): \(6x(x + 8) - 6(x - 2)(x + 6) = (x + 6)(x + 8)\).
Слева \(6(x^2 + 8x - x^2 - 4x + 12) = 24x + 72\), справа \(x^2 + 14x + 48\). Получаем \(x^2 - 10x - 24 = 0\), корни \(x_1 = 12\), \(x_2 = -2\).
Числитель обыкновенной дроби натуральный, поэтому \(x = 12\), знаменатель \(18\). Дробь \(\dfrac{12}{18}\) (сокращать её нельзя: у дроби \(\dfrac{2}{3}\) знаменатель больше числителя не на 6).
Проверка: \(\dfrac{12}{18} - \dfrac{10}{20} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}\).
Ответ
Числитель обозначают x, знаменатель выражают через x и составляют дробное уравнение; отрицательный корень не подходит.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью уравнений».