Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Чтобы решить текстовую задачу алгеброй, неизвестную величину обозначают буквой \(x\), выражают через неё остальные величины и записывают условие задачи уравнением. Корни уравнения потом проверяют по смыслу: скорость, время и число деталей не бывают отрицательными.
Подробное объяснение
Представьте: два велосипедиста едут из одного посёлка в другой, до которого 60 км. Второй едет на 3 км/ч быстрее и приезжает на час раньше. С какой скоростью ехал первый? Подбирать скорость наугад долго. Гораздо быстрее обозначить её буквой и записать условие одним уравнением.
Что такое «составить уравнение»
В задаче всегда есть величины, которые связаны между собой. Одну из них — обычно ту, о которой спрашивают, — обозначаем \(x\). Остальные выражаем через \(x\), пользуясь условием: «на 3 больше» — это \(x + 3\), «в 2 раза меньше» — \(\dfrac{x}{2}\). После этого одно из условий задачи ещё не использовано. Его и записываем как равенство — получается уравнение.
В 9 классе такие уравнения часто бывают дробными: время равно пути, делённому на скорость, и \(x\) оказывается в знаменателе. Дробное уравнение умножают на общий знаменатель и получают квадратное.
Три главных сюжета
Движение. Путь, скорость и время связаны формулой \(s = vt\), отсюда \(t = \dfrac{s}{v}\). Если тела едут по одной дороге с разной скоростью, сравнивают время. По реке скорость по течению равна \(v + v_{\text{теч}}\), против течения \(v - v_{\text{теч}}\). Плот собственной скорости не имеет — он плывёт со скоростью течения.
Работа. Всю работу принимают за 1. Если кто-то выполняет её за \(x\) часов, то за час он делает \(\dfrac{1}{x}\) работы — это его производительность. Когда работают вместе, складывают производительности, а не время.
Проценты. Увеличить число \(a\) на \(p\) % — значит умножить его на \(1 + \dfrac{p}{100}\), уменьшить — на \(1 - \dfrac{p}{100}\). Два одинаковых изменения подряд дают множитель в квадрате, и получается квадратное уравнение.
Удобно занести величины в таблицу: строка — участник (первый, второй), столбцы — путь, скорость, время. Одна клетка содержит \(x\), остальные выражены через него, а условие о разнице превращается в уравнение.
Отбор корней
Квадратное уравнение часто даёт два корня, но ответом задачи подходит не каждый. Отбрасывают корни, которые не имеют смысла:
- отрицательные и нулевые скорость, время, длину, число рабочих;
- скорость лодки, которая не больше скорости течения (против течения она не поплывёт);
- дробное число там, где нужно целое: числитель обыкновенной дроби, число людей или деталей;
- корни, при которых обращается в нуль знаменатель исходного уравнения.
Иногда подходят оба корня — тогда в задаче два ответа, и надо записать оба.
Как решать задачи
- Прочитайте условие и выясните, о какой величине спрашивают.
- Обозначьте её (или удобную связанную величину) буквой \(x\) и запишите, какие значения \(x\) допустимы: например, \(x > 0\).
- Выразите остальные величины через \(x\). Для движения и работы удобна таблица.
- Найдите условие, которое ещё не использовано, и запишите его уравнением. Единицы должны совпадать: полчаса — это \(\dfrac{1}{2}\) ч, а не 30.
- Решите уравнение. Дробное уравнение умножьте на общий знаменатель.
- Отберите корни по смыслу задачи и по допустимым значениям.
- Ответьте именно на вопрос задачи: если \(x\) — скорость, а спрашивают время, вычислите время.
- Проверьте ответ по условию.
Разобранные примеры
Два велосипедиста
Из посёлка в город, до которого 60 км, одновременно выехали два велосипедиста. Скорость второго на 3 км/ч больше, и он приехал на 1 ч раньше первого. Найдите скорости велосипедистов.
- \(s = 60\) км
- второй быстрее на 3 км/ч и приехал на 1 ч раньше
- скорости велосипедистов
Пусть скорость первого \(x\) км/ч, \(x > 0\). Тогда скорость второго \(x + 3\) км/ч. Первый был в пути \(\dfrac{60}{x}\) ч, второй — \(\dfrac{60}{x + 3}\) ч. Первый ехал дольше на 1 ч:
Умножим обе части на \(x(x + 3)\): \(60(x + 3) - 60x = x^2 + 3x\), то есть \(x^2 + 3x - 180 = 0\).
\(D = 9 + 720 = 729 = 27^2\), \(x = \dfrac{-3 \pm 27}{2}\), \(x_1 = 12\), \(x_2 = -15\).
Скорость не может быть отрицательной, значит, \(x = 12\). Второй ехал со скоростью \(12 + 3 = 15\) км/ч.
Проверка: \(60 : 12 = 5\) ч, \(60 : 15 = 4\) ч, разница 1 ч.
Две трубы
Две трубы, работая вместе, наполняют бассейн за 4 ч. Первая одна наполняет его на 6 ч быстрее, чем вторая одна. За сколько часов наполняет бассейн каждая труба?
- вместе — 4 ч
- первой нужно на 6 ч меньше
- чем второй
- время каждой трубы
Пусть первая труба наполняет бассейн за \(x\) ч, тогда вторая — за \(x + 6\) ч. Весь бассейн примем за 1. За час первая наполняет \(\dfrac{1}{x}\) бассейна, вторая — \(\dfrac{1}{x + 6}\), вместе — \(\dfrac{1}{4}\):
Умножим на \(4x(x + 6)\): \(4(x + 6) + 4x = x^2 + 6x\), то есть \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
Корни \(x_1 = 6\), \(x_2 = -4\). Время не бывает отрицательным, поэтому \(x = 6\). Вторая труба — \(6 + 6 = 12\) ч.
Проверка: \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\).
Два повышения цены
Абонемент в бассейн стоил 2000 р. Его цену дважды повышали на одно и то же число процентов, и она стала 2420 р. На сколько процентов повышали цену каждый раз?
- начальная цена 2000 р.
- после двух одинаковых повышений 2420 р
- процент повышения \(p\)
Каждое повышение на \(p\) % умножает цену на \(1 + \dfrac{p}{100}\). Обозначим \(x = 1 + \dfrac{p}{100}\), тогда \(2000x^2 = 2420\), \(x^2 = 1{,}21\).
Корни \(x = 1{,}1\) и \(x = -1{,}1\). Множитель не может быть отрицательным (иначе цена стала бы отрицательной), поэтому \(x = 1{,}1\), то есть \(1 + \dfrac{p}{100} = 1{,}1\) и \(p = 10\).
Проверка: \(2000 \cdot 1{,}1 = 2200\), \(2200 \cdot 1{,}1 = 2420\).
Типичные ошибки
Уравнение ничего не знает о том, что \(x\) — скорость или числитель дроби. Отрицательная скорость или дробное число рабочих в ответе — грубая ошибка. Бывает и наоборот: оба корня подходят (например, в задаче получается два разных времени), а ученик по привычке оставляет только один.
Сразу после «Пусть \(x\) — …» запишите, какие значения допустимы (\(x > 0\), \(x\) — натуральное, \(x\) больше скорости течения). После решения проверьте каждый корень по этому списку и подставьте подходящие в условие.
«На 2 ч быстрее» значит, что время этого участника меньше. Если перепутать, из большего ли вычитается меньшее, получится другое уравнение и другие корни — часто оба отрицательные или «странные». Особенно легко ошибиться, когда сравнивают плот и лодку против течения: медленнее может оказаться лодка.
Прежде чем писать уравнение, ответьте словами: «кто был в пути дольше?» Записывайте «большее время − меньшее время = разница».
Если один рабочий делает работу за 6 ч, а другой за 3 ч, вместе они справятся не за 9 ч и не за 4,5 ч — быстрее, чем каждый по отдельности. Время при совместной работе не складывается.
Переходите к производительности: за час первый делает \(\dfrac{1}{6}\), второй \(\dfrac{1}{3}\) работы, вместе \(\dfrac{1}{2}\), значит, на всю работу — 2 ч. Уравнение составляйте для производительностей.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Собственная скорость лодки \(v\) км/ч, скорость течения 2 км/ч. С какой скоростью лодка плывёт против течения?
Показать ответ
Ответ: Б) Равна v − 2 км/ч
Против течения река «тормозит» лодку, поэтому скорость течения вычитают из собственной, \(v - 2\).
-
Грузовик проезжает 100 км на полчаса дольше, чем легковой автомобиль, скорость которого на 10 км/ч больше. Скорость грузовика \(x\) км/ч. Какое уравнение верное?
Показать ответ
Ответ: А) 100/x − 100/(x + 10) = 1/2
Время грузовика \(\dfrac{100}{x}\) больше времени легковой \(\dfrac{100}{x + 10}\); разность — полчаса, то есть \(\dfrac{1}{2}\) ч, а не 30.
-
Уравнение в задаче на движение дало корни. Какие из них нужно отбросить, если \(x\) — скорость катера в стоячей воде, а скорость течения 4 км/ч?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Корень x = −18; Б) Корень x = 3; Г) Корень x = 0
Скорость катера должна быть положительной и больше скорости течения, иначе он не поплывёт против течения. Подходит только \(x = 16\).
-
Первая труба наполняет бак за 3 ч, вторая — за 6 ч. За сколько часов они наполнят бак, работая вместе?
Показать ответ
Ответ: 2
За час вместе они наполняют \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}\) бака, значит, весь бак — за 2 ч.
-
Товар стоил 200 р. Цену дважды повысили на 10 %. Сколько рублей стал стоить товар?
Показать ответ
Ответ: 242
Каждое повышение умножает цену на 1,1, поэтому \(200 \cdot 1{,}1^2 = 242\) р. Это не 240 р., потому что второй раз 10 % берут от уже выросшей цены.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Два натуральных числа отличаются на 4, а их произведение равно 96. Найдите эти числа.
Подсказка
Обозначьте меньшее число за x, тогда большее равно x + 4.
Решение
Пусть меньшее число \(x\), тогда большее \(x + 4\). По условию \(x(x + 4) = 96\), то есть \(x^2 + 4x - 96 = 0\).
\(D = 16 + 384 = 400\), \(x = \dfrac{-4 \pm 20}{2}\), \(x_1 = 8\), \(x_2 = -12\).
Число \(-12\) не натуральное, его отбрасываем. Меньшее число 8, большее \(8 + 4 = 12\).
Ответ
Автомобиль проехал 120 км. Если бы его скорость была на 20 км/ч больше, он затратил бы на дорогу на 1 ч меньше. С какой скоростью ехал автомобиль?
Подсказка
Время при настоящей скорости x равно 120/x, при скорости x + 20 — 120/(x + 20); разность времён равна 1 ч.
Решение
Пусть скорость автомобиля \(x\) км/ч, \(x > 0\). Время в пути \(\dfrac{120}{x}\) ч, а при скорости \(x + 20\) км/ч было бы \(\dfrac{120}{x + 20}\) ч. Первое время больше на 1 ч:
Умножим на \(x(x + 20)\): \(120(x + 20) - 120x = x^2 + 20x\), то есть \(x^2 + 20x - 2400 = 0\).
\(D = 400 + 9600 = 10\,000\), \(x = \dfrac{-20 \pm 100}{2}\), \(x_1 = 40\), \(x_2 = -60\). Скорость не может быть отрицательной, поэтому \(x = 40\).
Проверка: \(120 : 40 = 3\) ч, \(120 : 60 = 2\) ч — разница 1 ч.
Ответ
Собственная скорость катера 15 км/ч. Он прошёл 36 км по течению реки и 36 км обратно, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость течения.
Подсказка
По течению скорость 15 + x, против течения 15 − x. Сложите два времени.
Решение
Пусть скорость течения \(x\) км/ч, \(0 < x < 15\). Время по течению \(\dfrac{36}{15 + x}\) ч, против течения \(\dfrac{36}{15 - x}\) ч:
Умножим на \((15 + x)(15 - x)\): \(36(15 - x) + 36(15 + x) = 5(225 - x^2)\), то есть \(1080 = 1125 - 5x^2\), \(x^2 = 9\).
Корни \(3\) и \(-3\); скорость течения положительна, значит \(x = 3\).
Ответ
Два маляра, работая вместе, красят забор за 8 дней. Первому одному на это нужно на 12 дней меньше, чем второму. За сколько дней покрасит забор каждый из них?
Подсказка
Если первый красит забор за x дней, то за день он делает 1/x всей работы.
Решение
Пусть первый маляр красит забор за \(x\) дней, тогда второй — за \(x + 12\) дней. За день они делают \(\dfrac{1}{x}\) и \(\dfrac{1}{x + 12}\) работы, а вместе — \(\dfrac{1}{8}\):
Умножим на \(8x(x + 12)\): \(8(x + 12) + 8x = x^2 + 12x\), то есть \(x^2 - 4x - 96 = 0\).
\(D = 16 + 384 = 400\), \(x_1 = \dfrac{4 + 20}{2} = 12\), \(x_2 = \dfrac{4 - 20}{2} = -8\) — не подходит.
Первый маляр — 12 дней, второй — \(12 + 12 = 24\) дня. Проверка: \(\dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{24} = \dfrac{3}{24} = \dfrac{1}{8}\).
Ответ
Числитель обыкновенной дроби на 3 меньше знаменателя. Сумма этой дроби и обратной ей дроби равна 29/10. Найдите дробь.
Подсказка
Дробь x/(x + 3), обратная — (x + 3)/x. Числитель обыкновенной дроби — натуральное число.
Решение
Пусть числитель \(x\), тогда знаменатель \(x + 3\). По условию
Умножим на \(10x(x + 3)\): \(10x^2 + 10(x + 3)^2 = 29x(x + 3)\), то есть \(20x^2 + 60x + 90 = 29x^2 + 87x\), откуда \(9x^2 + 27x - 90 = 0\), или \(x^2 + 3x - 10 = 0\).
Корни \(x_1 = 2\), \(x_2 = -5\). Числитель обыкновенной дроби натуральный, поэтому \(x = 2\), дробь \(\dfrac{2}{5}\).
Проверка: \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{5}{2} = 0{,}4 + 2{,}5 = 2{,}9 = \dfrac{29}{10}\).
Ответ
Цену товара дважды снижали на одно и то же число процентов. Сначала товар стоил 5000 р., после двух снижений — 4050 р. На сколько процентов снижали цену каждый раз?
Подсказка
После снижения на p % цена умножается на (1 − p/100). Два снижения — умножение дважды.
Решение
Пусть цену каждый раз снижали на \(p\) %. После одного снижения цена умножается на \(1 - \dfrac{p}{100}\), после двух — на \(\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^2\):
Значит, \(1 - \dfrac{p}{100} = 0{,}9\) или \(1 - \dfrac{p}{100} = -0{,}9\). Отсюда \(p = 10\) или \(p = 190\).
Снизить цену на 190 % нельзя (она стала бы отрицательной), поэтому \(p = 10\). Проверка: \(5000 \cdot 0{,}9 = 4500\), \(4500 \cdot 0{,}9 = 4050\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите задачу про две поездки: «Ты идёшь до магазина 2 км, а брат едет на самокате на 6 км/ч быстрее и тратит на 10 минут меньше». Попросите ребёнка нарисовать таблицу «путь — скорость — время», вписать в клетку скорости \(x\) и выразить остальное. Главное, что нужно увидеть: уравнение — это одно условие задачи, записанное равенством, а 10 минут надо перевести в часы (\(\dfrac{1}{6}\) ч).
Вопросы для проверки понимания: 1) Почему в задачах на движение корень \(x = -5\) отбрасывают, а в обычном уравнении — нет? 2) Если один кран наполняет ванну за 10 мин, а другой за 15 мин, сколько ванны они наполнят вместе за 1 минуту? 3) Цену повысили на 10 %, а потом снизили на 10 %. Она вернулась к прежней?
На что обратить внимание. Проверьте, что ребёнок пишет, что обозначено за \(x\), с единицами, и что в конце отвечает именно на вопрос задачи. Частая потеря баллов — найден \(x\) (скорость), а спрашивали время.