Задача 1
Знаменатель обыкновенной дроби больше числителя на 3. Если числитель умножить на 3 и уменьшить на 7, а знаменатель умножить на 2 и уменьшить на 11, получится дробь, обратная данной. Найдите дробь.
Решение
- знаменатель на 3 больше числителя; новая дробь обратна данной
- дробь
Пусть числитель \(x\) (натуральное), знаменатель \(x + 3\). Новый числитель \(3x - 7\), новый знаменатель \(2(x + 3) - 11 = 2x - 5\). Новая дробь равна обратной \(\dfrac{x + 3}{x}\):
По свойству пропорции \(x(3x - 7) = (x + 3)(2x - 5)\), то есть \(3x^2 - 7x = 2x^2 + x - 15\), откуда \(x^2 - 8x + 15 = 0\), \(x_1 = 3\), \(x_2 = 5\).
Оба корня натуральные, знаменатели \(2x - 5\) и \(x\) при них не равны нулю. Получаем две дроби: \(\dfrac{3}{6}\) и \(\dfrac{5}{8}\).
Проверка: для \(\dfrac{5}{8}\) новая дробь \(\dfrac{8}{5}\) — обратная; для \(\dfrac{3}{6}\) новая дробь \(\dfrac{2}{1} = 2\), а \(\dfrac{6}{3} = 2\) — тоже обратная.
Ответ
Условие «получится обратная дробь» записывают пропорцией и сводят к квадратному уравнению; оба корня подходят.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью уравнений».