Задача 1
Первый лыжник прошёл 30 км на 1/2 ч быстрее, чем второй — 45 км, хотя скорость второго была на 3 км/ч больше. За какое время первый лыжник прошёл 30 км?
Решение
- первый — 30 км
- второй — 45 км; первый затратил на \(\dfrac{1}{2}\) ч меньше; скорость второго на 3 км/ч больше
- время первого
Пусть первый шёл \(x\) ч, \(x > 0\), тогда второй — \(x + \dfrac{1}{2}\) ч. Скорость первого \(\dfrac{30}{x}\), второго \(\dfrac{45}{x + 0{,}5}\), она на 3 км/ч больше:
Умножим на \(x(x + 0{,}5)\): \(45x - 30(x + 0{,}5) = 3x(x + 0{,}5)\), то есть \(15x - 15 = 3x^2 + 1{,}5x\), или \(3x^2 - 13{,}5x + 15 = 0\). Разделим на 3: \(x^2 - 4{,}5x + 5 = 0\).
\(D = 20{,}25 - 20 = 0{,}25\), \(x = \dfrac{4{,}5 \pm 0{,}5}{2}\), \(x_1 = 2{,}5\), \(x_2 = 2\).
Оба корня подходят. При \(x = 2\): скорости 15 и \(45 : 2{,}5 = 18\) км/ч. При \(x = 2{,}5\): скорости 12 и \(45 : 3 = 15\) км/ч. В обоих случаях условие выполняется, поэтому у задачи два ответа.
Ответ
За x взято искомое время, скорости выражены через него; оба корня положительны и удовлетворяют условию.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью уравнений».