Упражнение 262 к § 15

Числитель разложим группировкой: \(2ab + 2by + ay + y^2 = 2b(a + y) + y(a + y) = (a + y)(2b + y)\).

Знаменатель в том виде, как он напечатан, \(2ab - 2by + ay + y^2 = 2b(a - y) + y(a + y)\), на множители так не раскладывается и общих множителей с числителем не имеет: при \(a = -y\) он равен \(-4by\), а при \(y = -2b\) равен \(8b^2\), то есть не обращается в нуль ни вместе с \(a + y\), ни вместе с \(2b + y\). Напечатанная дробь не сокращается.

В ответах учебника указано \(\dfrac{a + y}{a - y}\). Такой ответ получается, если в знаменателе последнее слагаемое \(-y^2\) (вероятно, опечатка). Решим с этим допущением:

\(2ab - 2by + ay - y^2 = 2b(a - y) + y(a - y) = (a - y)(2b + y)\).

Знаменатель — разность кубов: \(27x^3 - 8 = (3x)^3 - 2^3 = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)\).

Множитель \(9x^2 + 6x + 4\) не обращается в нуль ни при каком \(x\) (его дискриминант отрицателен), поэтому сокращение законно при всех \(x \ne \dfrac{2}{3}\).