§ 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной · тема: Решение неравенств второй степени с одной переменной
а) Решите неравенство x² + 2x − 48 < 0.
\(D = 4 + 192 = 196\), \(x = \dfrac{-2 \pm 14}{2}\), корни \(-8\) и \(6\).
\(a = 1 > 0\) — ветви вверх, ниже оси \(x\) парабола между корнями. Знак строгий, корни не входят.
При a > 0 трёхчлен отрицателен между корнями.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
б) Решите неравенство 2x² − 7x + 6 > 0.
\(D = 49 - 48 = 1\), \(x = \dfrac{7 \pm 1}{4}\), корни \(1{,}5\) и \(2\).
Ветви вверх, выше оси парабола левее \(1{,}5\) и правее \(2\).
При a > 0 трёхчлен положителен вне промежутка между корнями.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
в) Решите неравенство −x² + 2x + 15 > 0.
Умножим на \(-1\) и сменим знак: \(x^2 - 2x - 15 < 0\).
\(D = 4 + 60 = 64\), \(x = \dfrac{2 \pm 8}{2}\), корни \(-3\) и \(5\). Ветви параболы \(y = x^2 - 2x - 15\) вверх, ниже оси она между корнями.
Проверка: при \(x = 0\) исходное неравенство даёт \(15 > 0\) — верно, а \(0 \in (-3;\ 5)\).
В ответах учебника указано \((-\infty;\ -3) \cup (5;\ +\infty)\) — это решение неравенства \(-x^2 + 2x + 15 < 0\), для напечатанного условия ответ \((-3;\ 5)\).
При a < 0 ветви вниз, и трёхчлен положителен между корнями.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
г) Решите неравенство −5x² + 11x − 6 > 0.
Умножим на \(-1\), получим \(5x^2 - 11x + 6 < 0\).
\(D = 121 - 120 = 1\), \(x = \dfrac{11 \pm 1}{10}\), корни \(1\) и \(1{,}2\). Ветви вверх, ниже оси парабола между корнями.
После умножения на −1 знак неравенства меняется, а трёхчлен с a > 0 отрицателен между корнями.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
д) Решите неравенство 4x² − 12x + 9 > 0.
\(D = 144 - 144 = 0\), единственный корень \(x = 1{,}5\); \(4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2\).
Парабола касается оси в точке \(1{,}5\), в остальных точках она выше оси.
При D = 0 и a > 0 трёхчлен положителен при всех x, кроме корня.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
е) Решите неравенство 25x² + 30x + 9 < 0.
\(25x^2 + 30x + 9 = (5x + 3)^2\), \(D = 900 - 900 = 0\).
Квадрат не бывает отрицательным: парабола касается оси в точке \(-0{,}6\) и ниже оси не опускается.
При D = 0 и a > 0 трёхчлен не принимает отрицательных значений.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
ж) Решите неравенство −10x² + 9x > 0.
Умножим на \(-1\), получим \(10x^2 - 9x < 0\), то есть \(x(10x - 9) < 0\).
Корни \(0\) и \(0{,}9\), ветви вверх, ниже оси парабола между корнями.
Неполный трёхчлен удобно разложить на множители, дальше — эскиз параболы.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
з) Решите неравенство −2x² + 7x < 0.
Умножим на \(-1\), получим \(2x^2 - 7x > 0\), то есть \(x(2x - 7) > 0\).
Корни \(0\) и \(3{,}5\), ветви вверх, выше оси парабола вне промежутка между корнями.
При a > 0 трёхчлен положителен вне промежутка между корнями.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/p16/upr-264/