§ 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной · тема: Решение неравенств второй степени с одной переменной
а) Решите неравенство 2x² + 13x − 7 > 0.
\(D = 169 + 56 = 225\), \(x = \dfrac{-13 \pm 15}{4}\), корни \(-7\) и \(0{,}5\).
Ветви вверх, выше оси парабола левее \(-7\) и правее \(0{,}5\).
При a > 0 трёхчлен положителен вне промежутка между корнями.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
б) Решите неравенство −9x² + 12x − 4 < 0.
Умножим на \(-1\), получим \(9x^2 - 12x + 4 > 0\), то есть \((3x - 2)^2 > 0\).
\(D = 0\), корень \(x = \dfrac23\). Квадрат положителен при всех \(x\), кроме \(\dfrac23\).
При D = 0 трёхчлен с a > 0 положителен везде, кроме корня.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
в) Решите неравенство 6x² − 13x + 5 ≤ 0.
\(D = 169 - 120 = 49\), \(x = \dfrac{13 \pm 7}{12}\), корни \(\dfrac12\) и \(\dfrac53 = 1\dfrac23\).
Ветви вверх, не выше оси парабола на отрезке между корнями.
При a > 0 трёхчлен неположителен на отрезке между корнями.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
г) Решите неравенство −2x² − 5x + 18 ≤ 0.
Умножим на \(-1\), получим \(2x^2 + 5x - 18 \geqslant 0\).
\(D = 25 + 144 = 169\), \(x = \dfrac{-5 \pm 13}{4}\), корни \(-4{,}5\) и \(2\). Ветви вверх, не ниже оси — вне интервала между корнями, корни входят.
После умножения на −1 знак меняется, дальше — эскиз параболы с ветвями вверх.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
д) Решите неравенство 3x² − 2x > 0.
\(x(3x - 2) > 0\), корни \(0\) и \(\dfrac23\).
Ветви вверх, выше оси парабола левее \(0\) и правее \(\dfrac23\).
Корни неполного трёхчлена находят разложением на множители.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
е) Решите неравенство 8 − x² < 0.
Умножим на \(-1\), получим \(x^2 - 8 > 0\). Корни \(\pm\sqrt8 = \pm 2\sqrt2\).
Ветви вверх, выше оси парабола при \(x < -2\sqrt2\) и \(x > 2\sqrt2\).
x² > 8 выполняется вне интервала между −2√2 и 2√2.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/p16/upr-266/