Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 16

Упражнение 272 к § 16

§ 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной · тема: Решение неравенств второй степени с одной переменной

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найдите множество решений неравенства 3x² + 40x + 10 < −x² + 11x + 3.

Решение

Перенесём всё влево: $$4x^2 + 29x + 7 < 0$$ .

$$D = 841 - 112 = 729 = 27^2$$ , $x = \dfrac{-29 \pm 27}{8}$ , корни $$-7$$ и $-\dfrac14$ .

Ветви вверх, ниже оси — между корнями.

Ответ

(−7; −1/4)

Почему так

Неравенство сначала приводят к виду ax² + bx + c < 0.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найдите множество решений неравенства 9x² − x + 9 ≥ 3x² + 18x − 6.

Решение

$6x^2 - 19x + 15 \geqslant 0$ .

$$D = 361 - 360 = 1$$ , $x = \dfrac{19 \pm 1}{12}$ , корни $\dfrac32 = 1\dfrac12$ и $\dfrac53 = 1\dfrac23$ .

Ветви вверх, не ниже оси — вне интервала между корнями, корни входят.

Ответ

(−∞; 1 1/2] ∪ [1 2/3; +∞)

Почему так

Неравенство сначала приводят к виду ax² + bx + c ≥ 0.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найдите множество решений неравенства 2x² + 8x − 111 < (3x − 5)(2x + 6).

Решение

$$(3x - 5)(2x + 6) = 6x^2 + 18x - 10x - 30 = 6x^2 + 8x - 30$$ .

$$2x^2 + 8x - 111 < 6x^2 + 8x - 30$$ , то есть $$-4x^2 < 81$$ , или $$4x^2 + 81 > 0$$ .

Левая часть положительна при любом $$x$$ ( $$D < 0$$ , $$a > 0$$ ).

Ответ

x — любое число

Почему так

При D < 0 и a > 0 трёхчлен положителен при всех x.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найдите множество решений неравенства (5x + 1)(3x − 1) > (4x − 1)(x + 2).

Решение

$$(5x + 1)(3x - 1) = 15x^2 - 2x - 1$$ , $$(4x - 1)(x + 2) = 4x^2 + 7x - 2$$ .

$$15x^2 - 2x - 1 > 4x^2 + 7x - 2$$ , то есть $$11x^2 - 9x + 1 > 0$$ .

$$D = 81 - 44 = 37$$ , корни $\dfrac{9 \pm \sqrt{37}}{22}$ . Ветви вверх, выше оси — вне интервала между корнями.

Ответ

(−∞; (9 − √37)/22) ∪ ((9 + √37)/22; +∞)

Почему так

После раскрытия скобок получается неравенство второй степени с иррациональными корнями.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки