§ 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной · тема: Решение неравенств второй степени с одной переменной
а) Для работы в парах. Докажите, что 7x² − 10x + 7 > 0 при любом x.
\(D = 100 - 196 = -96 < 0\), корней нет. \(a = 7 > 0\) — парабола целиком выше оси \(x\), значит, трёхчлен положителен при любом \(x\).
При D < 0 и a > 0 трёхчлен положителен при всех x.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
б) Для работы в парах. Докажите, что −6y² + 11y − 10 < 0 при любом y.
\(D = 121 - 240 = -119 < 0\), корней нет. \(a = -6 < 0\) — парабола целиком ниже оси, трёхчлен отрицателен при любом \(y\).
При D < 0 и a < 0 трёхчлен отрицателен при всех значениях переменной.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
в) Для работы в парах. Докажите, что 4x² + 12x + 9 ≥ 0 при любом x.
\(4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2\), а квадрат любого числа неотрицателен.
Полный квадрат не бывает отрицательным.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
г) Для работы в парах. Докажите, что ¼x² − 8x + 64 ≥ 0 при любом x.
\(\dfrac14x^2 - 8x + 64 = \left(\dfrac12x - 8\right)^2 \geqslant 0\).
Иначе: \(D = 64 - 64 = 0\), \(a > 0\) — парабола касается оси и не опускается ниже.
Полный квадрат не бывает отрицательным.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
д) Для работы в парах. Докажите, что −9y² + 6y − 1 ≤ 0 при любом y.
\(-9y^2 + 6y - 1 = -(9y^2 - 6y + 1) = -(3y - 1)^2 \leqslant 0\), так как квадрат неотрицателен.
Число, противоположное квадрату, не бывает положительным.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
е) Для работы в парах. Докажите, что −5x² + 8x − 5 < 0 при любом x.
\(D = 64 - 100 = -36 < 0\), корней нет. \(a = -5 < 0\) — парабола целиком ниже оси, трёхчлен отрицателен при любом \(x\).
При D < 0 и a < 0 трёхчлен отрицателен при всех x.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
Для работы в парах. При каком условии ax² + bx + c > 0 верно при любом x? Укажите аналогичные условия для ax² + bx + c < 0.
Будем считать \(a \ne 0\). Неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\) верно при любом \(x\), если парабола целиком выше оси \(x\): ветви вверх и общих точек с осью нет, то есть \(a > 0\) и \(D < 0\).
Неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\) верно при любом \(x\), если парабола целиком ниже оси: \(a < 0\) и \(D < 0\).
Если \(a = 0\), выражение линейное: \(bx + c > 0\) при любом \(x\) только при \(b = 0\), \(c > 0\) (аналогично \(b = 0\), \(c < 0\) для знака \(<\)).
Знак a задаёт направление ветвей, условие D < 0 — отсутствие общих точек с осью x.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/p16/upr-275/