Задача 1
Условие (кратко)
Какое из выражений положительно при любом y — 1) (y − 2)(y − 3) − 4; 2) (5 − y)(1 − y) + 4; 3) (5 − y)(1 − y) + 10; 4) (y − 8)(y − 7) − 60?
Решение
Раскроем скобки и найдём дискриминант каждого трёхчлена (у всех \(a = 1 > 0\)).
-
\(y^2 - 5y + 2\), \(D = 25 - 8 = 17 > 0\) — есть корни, значит, есть и отрицательные значения.
-
\(y^2 - 6y + 9 = (y - 3)^2\) — при \(y = 3\) равно нулю, положительно не всегда.
-
\(y^2 - 6y + 15\), \(D = 36 - 60 = -24 < 0\) — положительно при любом \(y\).
-
\(y^2 - 15y - 4\), \(D = 225 + 16 > 0\) — есть отрицательные значения.
Ответ
Выражение 3
Почему так
Трёхчлен положителен при всех значениях переменной, если a > 0 и D < 0.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».