Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 16

Упражнение 277 к § 16

Задача 1

Условие (кратко)

а) Докажите, что x² + 7x + 1 > −x² + 10x − 1 при любом x.

Решение

Перенесём всё влево: $$2x^2 - 3x + 2 > 0$$ .

$$D = 9 - 16 = -7 < 0$$ , $$a = 2 > 0$$ — трёхчлен положителен при любом $$x$$ , значит, исходное неравенство верно при любом $$x$$ .

Ответ

Доказано: 2x² − 3x + 2 > 0, так как D < 0, a > 0

Почему так

Разность частей — трёхчлен с a > 0 и D < 0, он всегда положителен.

Условие (кратко)

б) Докажите, что −2x² + 10x < 18 − 2x при x ≠ 3.

Решение

Перенесём всё влево: $$-2x^2 + 12x - 18 < 0$$ , то есть $$-2(x^2 - 6x + 9) = -2(x - 3)^2 < 0$$ .

При $x \ne 3$ квадрат $$(x - 3)^2$$ положителен, а умноженный на $$-2$$ — отрицателен. Неравенство верно.

Ответ

Доказано: левая часть минус правая равна −2(x − 3)² < 0 при x ≠ 3

Почему так

Выражение −2(x − 3)² отрицательно везде, кроме x = 3.