§ 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной · тема: Решение неравенств второй степени с одной переменной
а) Решите систему неравенств: x² − 2x − 8 < 0, x² − 9 < 0.
Первое: корни \(-2\) и \(4\), решение \((-2;\ 4)\).
Второе: корни \(\pm3\), решение \((-3;\ 3)\).
Общая часть: \((-2;\ 3)\).
Решение системы — пересечение решений каждого неравенства.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
б) Решите систему неравенств: 2x² − 13x + 6 < 0, x² − 4x > 0.
Первое: \(D = 169 - 48 = 121\), \(x = \dfrac{13 \pm 11}{4}\), корни \(0{,}5\) и \(6\), решение \((0{,}5;\ 6)\).
Второе: \(x(x - 4) > 0\), решение \((-\infty;\ 0) \cup (4;\ +\infty)\).
Пересечение: \((4;\ 6)\).
Решение системы — пересечение решений каждого неравенства.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
в) Решите систему неравенств: x² − 6x − 16 > 0, x² + 2x − 120 < 0.
Первое: \(D = 36 + 64 = 100\), корни \(-2\) и \(8\), решение \((-\infty;\ -2) \cup (8;\ +\infty)\).
Второе: \(D = 4 + 480 = 484\), \(x = \dfrac{-2 \pm 22}{2}\), корни \(-12\) и \(10\), решение \((-12;\ 10)\).
Пересечение: \((-12;\ -2) \cup (8;\ 10)\).
Решение системы — пересечение решений каждого неравенства, его удобно искать на числовой оси.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
г) Решите систему неравенств: 3x² + x − 2 ≤ 0, x² + 4x − 12 ≤ 0.
Первое: \(D = 1 + 24 = 25\), \(x = \dfrac{-1 \pm 5}{6}\), корни \(-1\) и \(\dfrac23\), решение \(\left[-1;\ \dfrac23\right]\).
Второе: \(D = 16 + 48 = 64\), корни \(-6\) и \(2\), решение \([-6;\ 2]\).
Пересечение: \(\left[-1;\ \dfrac23\right]\).
Решение системы — пересечение решений каждого неравенства.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
д) Решите систему неравенств: 2x² + 4x + 15 ≥ 0, x² − 9x + 8 ≤ 0.
Первое: \(D = 16 - 120 < 0\), \(a > 0\) — верно при любом \(x\).
Второе: корни \(1\) и \(8\), решение \([1;\ 8]\).
Пересечение: \([1;\ 8]\).
Неравенство, верное при всех x, не сужает решение системы.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
е) Решите систему неравенств: 2x² + 5x − 3 < 0, 3x² + x + 11 < 0.
Второе неравенство: \(D = 1 - 132 < 0\), \(a = 3 > 0\) — трёхчлен положителен при любом \(x\), решений нет.
Значит, у системы решений нет (первое неравенство можно не решать; его решение — \((-3;\ 0{,}5)\)).
Если одно неравенство системы не имеет решений, система тоже не имеет решений.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/p16/upr-280/