Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 17

Упражнение 293 к § 17

Задача 1

Условие (кратко)

а) При каких значениях x имеет смысл выражение $\sqrt{(2x + 5)(x - 17)}$ ?

Решение

Нужно $(2x + 5)(x - 17) \ge 0$ . Так как $$2x + 5 = 2(x + 2{,}5)$$ , делим на $$2$$ , получим $(x + 2{,}5)(x - 17) \ge 0$ .

Нули множителей: $$-2{,}5$$ , $$17$$ — точки закрашены (неравенство нестрогое).

Знаки справа налево: $(17;\ +\infty)$ — «+», $(-2{,}5;\ 17)$ — «−», $(-\infty;\ -2{,}5)$ — «+».

Выбираем промежутки со знаком «+» и добавляем закрашенные точки: $(-\infty;\ -2{,}5] \cup [17;\ +\infty)$ .

Ответ

(−∞; −2,5] ∪ [17; +∞)

Почему так

Квадратный корень определён, когда подкоренное выражение неотрицательно; это неравенство решают методом интервалов.

Условие (кратко)

б) При каких значениях x имеет смысл выражение $\sqrt{x(x + 9)(2x - 8)}$ ?

Решение

Нужно $x(x + 9)(2x - 8) \ge 0$ . Так как $$2x - 8 = 2(x - 4)$$ , делим на $$2$$ , получим $x(x + 9)(x - 4) \ge 0$ .

Нули множителей: $$-9$$ , $$0$$ , $$4$$ — точки закрашены (неравенство нестрогое).

Знаки справа налево: $(4;\ +\infty)$ — «+», $(0;\ 4)$ — «−», $(-9;\ 0)$ — «+», $(-\infty;\ -9)$ — «−».

Выбираем промежутки со знаком «+» и добавляем закрашенные точки: $[-9;\ 0] \cup [4;\ +\infty)$ .

Ответ

[−9; 0] ∪ [4; +∞)

Почему так