Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Метод интервалов решает неравенства вида \((x - x_1)(x - x_2)\ldots(x - x_n) > 0\) и дробные неравенства. Отмечаем нули множителей на оси, справа от всех нулей ставим «+», дальше знаки чередуются — и выбираем нужные промежутки.
Подробное объяснение
Представьте поезд, который едет по оси \(x\) слева направо. Значение выражения \((x + 3)(x - 1)(x - 4)\) — это его «настроение»: оно плюс или минус. Поменяться оно может только на станциях, где какой-то множитель становится нулём: \(x = -3\), \(x = 1\), \(x = 4\). Между станциями ни один множитель не меняет знак, значит, и всё произведение сохраняет знак. Поэтому достаточно узнать знак на каждом промежутке между нулями — и неравенство решено.
Почему знаки чередуются
Возьмём \(x\) правее самого большого нуля, например \(x = 100\). Каждая скобка вида \((x - a)\) положительна, произведение — тоже. Значит, на крайнем правом промежутке всегда «+».
Сдвинемся влево через нуль \(x = 4\). Множитель \((x - 4)\) был положительным, стал отрицательным, остальные знак не сменили. Произведение сменило знак на «−». Через следующий нуль — снова смена. Так и получается змейка: «+», «−», «+», «−» справа налево.
Множители вида (a − x) и коэффициенты
Правило «справа плюс» работает, только когда в каждой скобке \(x\) стоит с плюсом: \((x - a)\). Если есть множитель \((7 - x)\), вынесите минус: \((7 - x) = -(x - 7)\), умножьте неравенство на \(-1\) и смените знак неравенства. Скобку \((3x - 1)\) можно записать как \(3\left(x - \dfrac{1}{3}\right)\): положительный множитель 3 на знак не влияет. Положительное число перед скобками тоже можно отбросить.
Кратные корни
Если множитель стоит в квадрате, например \((x - 1)^2\), то он положителен и слева, и справа от \(x = 1\). Знак произведения при переходе через такой нуль не меняется. Это корень чётной кратности. Через корень нечётной кратности (\((x - 2)^3\)) знак меняется, как через простой.
Дробные неравенства
Знак дроби \(\dfrac{A}{B}\) такой же, как знак произведения \(A \cdot B\), — но только там, где \(B \ne 0\). Поэтому нули знаменателя ставим на ось наравне с нулями числителя, но всегда выкалываем: делить на нуль нельзя, даже если неравенство нестрогое. Нули числителя при нестрогом знаке (\(\ge\), \(\le\)) закрашиваем, при строгом — выкалываем.
Если справа стоит не нуль, например \(\dfrac{x - 6}{x + 2} > 3\), перенесите число влево и приведите к общему знаменателю. Умножать обе части на знаменатель нельзя: неизвестно, положителен он или отрицателен.
Как решать задачи
- Перенесите всё в левую часть, чтобы справа остался нуль; дробь приведите к одному знаменателю.
- Разложите числитель и знаменатель на множители вида \((x - a)\); множители \((a - x)\) переверните, меняя знак неравенства.
- Найдите нули всех множителей и отметьте их на оси: нули знаменателя — выколотые, нули числителя — по знаку неравенства.
- На крайнем правом промежутке поставьте «+», дальше идите влево, меняя знак на каждом нуле, кроме корней чётной кратности.
- Выберите промежутки с нужным знаком и запишите ответ, проверив скобки у концов.
Разобранные примеры
Произведение трёх множителей
Решите неравенство \((x + 3)(x - 1)(x - 4) > 0\).
Нули множителей: \(-3\), \(1\), \(4\). Отмечаем их на оси выколотыми точками — неравенство строгое.
Справа от \(4\) — «+», на \((1;\ 4)\) — «−», на \((-3;\ 1)\) — «+», на \((-\infty;\ -3)\) — «−».
Выбираем промежутки со знаком «+»: \((-3;\ 1) \cup (4;\ +\infty)\).
Проверка: при \(x = 0\) получаем \(3 \cdot (-1) \cdot (-4) = 12 > 0\) — точка \(0\) из \((-3;\ 1)\) действительно подходит.
Дробь с множителем (a − x)
Решите неравенство \(\dfrac{4 - x}{x + 2} \ge 0\).
Умножим на \(-1\) и сменим знак: \(\dfrac{x - 4}{x + 2} \le 0\).
Нуль числителя \(x = 4\) закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя \(x = -2\) выкалываем.
Знаки справа налево: на \((4;\ +\infty)\) — «+», на \((-2;\ 4)\) — «−», на \((-\infty;\ -2)\) — «+». Берём «−» вместе с точкой \(4\).
Кратный корень и выколотая точка
Решите неравенство \(\dfrac{(x + 2)(x - 1)^2}{x - 4} \le 0\).
Нули числителя: \(x = -2\) и \(x = 1\) (кратности 2) — точки закрашены. Нуль знаменателя \(x = 4\) — выколот.
Справа от \(4\) — «+». Через \(4\) знак меняется: на \((1;\ 4)\) — «−». Через \(1\) знак не меняется (квадрат): на \((-2;\ 1)\) тоже «−». Через \(-2\) — смена: на \((-\infty;\ -2)\) — «+».
Подходят промежутки со знаком «−» и закрашенные точки: \([-2;\ 1] \cup [1;\ 4)\), то есть \([-2;\ 4)\).
Типичные ошибки
Из \(\dfrac{x - 6}{x + 2} > 3\) пишут \(x - 6 > 3(x + 2)\). Но при \(x < -2\) знаменатель отрицателен, и знак неравенства должен был смениться. Половина решений теряется или появляются лишние.
Перенесите 3 влево: \(\dfrac{x - 6 - 3(x + 2)}{x + 2} > 0\), то есть \(\dfrac{-2x - 12}{x + 2} > 0\), или \(\dfrac{x + 6}{x + 2} < 0\). Методом интервалов получаем ответ \((-6;\ -2)\).
В неравенстве \((5 - x)(x + 1) > 0\) при больших \(x\) множитель \((5 - x)\) отрицателен, и справа от всех нулей стоит «−», а не «+». Механическая змейка даёт противоположный ответ.
Запишите \((5 - x) = -(x - 5)\) и перейдите к \((x - 5)(x + 1) < 0\). Теперь справа «+», а ответ — \((-1;\ 5)\). Или просто проверьте знак подстановкой одного числа, например \(x = 100\).
В неравенстве \(\dfrac{x - 2}{x - 5} \ge 0\) точку \(5\) закрашивают «за компанию» с точкой \(2\), потому что знак нестрогий. Но при \(x = 5\) дробь не существует.
Нули знаменателя выкалываются всегда. Ответ: \((-\infty;\ 2] \cup (5;\ +\infty)\) — у пятёрки круглая скобка.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какой знак имеет произведение \((x - 2)(x + 1)(x - 5)\) на самом правом промежутке \((5;\ +\infty)\)?
Показать ответ
Ответ: А) Плюс
При \(x > 5\) все три множителя положительны, значит, и произведение положительно.
-
Какие числа входят в множество решений неравенства \(\dfrac{(x + 4)(x - 1)}{x - 3} \ge 0\)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Число −4; Б) Число 1; Г) Число 0
При \(x = -4\) и \(x = 1\) дробь равна нулю — подходит; при \(x = 3\) знаменатель обращается в нуль; при \(x = 0\) дробь равна \(\dfrac{4}{3} > 0\).
-
Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству \((x + 2)(x - 3) < 0\)?
Показать ответ
Ответ: 4
Решение — промежуток \((-2;\ 3)\), в нём целые числа \(-1\), \(0\), \(1\), \(2\).
-
Что происходит со знаком выражения \((x - 2)^2(x + 1)\) при переходе через \(x = 2\)?
Показать ответ
Ответ: Б) Знак не меняется
Множитель \((x - 2)^2\) положителен по обе стороны от \(2\), поэтому знак всего выражения сохраняется — это корень чётной кратности.
-
Какому неравенству равносильно \(\dfrac{3 - x}{x + 1} > 0\)?
Показать ответ
Ответ: Б) Неравенству (x − 3)(x + 1) < 0
Знак дроби совпадает со знаком произведения \((3 - x)(x + 1)\), а после умножения на \(-1\) получаем \((x - 3)(x + 1) < 0\). Решение у обоих — \((-1;\ 3)\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Решите неравенство (x − 2)(x + 5) < 0 методом интервалов.
Подсказка
Нули множителей — 2 и −5. Справа от большего нуля произведение положительно.
Решение
Нули множителей: \(x = 2\) и \(x = -5\). Они делят ось на три промежутка.
Справа от \(2\) оба множителя положительны — знак «+». Дальше знаки чередуются: на \((-5;\ 2)\) — «−», на \((-\infty;\ -5)\) — «+».
Нужны значения, где произведение меньше нуля, а сами нули не подходят (неравенство строгое): \((-5;\ 2)\).
Ответ
Решите неравенство (x + 1)/(x − 6) > 0.
Подсказка
Знак дроби совпадает со знаком произведения (x + 1)(x − 6), но x = 6 подставлять нельзя.
Решение
Дробь \(\dfrac{x + 1}{x - 6}\) имеет тот же знак, что и произведение \((x + 1)(x - 6)\), при всех \(x \ne 6\).
Нули: \(x = -1\) (числитель) и \(x = 6\) (знаменатель). Знаки справа налево: на \((6;\ +\infty)\) — «+», на \((-1;\ 6)\) — «−», на \((-\infty;\ -1)\) — «+».
Неравенство строгое, обе точки выколоты: \((-\infty;\ -1) \cup (6;\ +\infty)\).
Ответ
Решите неравенство x(x − 3)(x + 4) ≤ 0.
Подсказка
Нули множителей — числа −4, 0 и 3. Неравенство нестрогое, поэтому нули входят в ответ.
Решение
Нули множителей: \(-4\), \(0\), \(3\). Справа от \(3\) все множители положительны — «+», дальше знаки чередуются: \((0;\ 3)\) — «−», \((-4;\ 0)\) — «+», \((-\infty;\ -4)\) — «−».
Берём промежутки со знаком «−» и добавляем сами нули (неравенство нестрогое): \((-\infty;\ -4] \cup [0;\ 3]\).
Ответ
Решите неравенство (2 − x)/(x + 3) ≥ 0.
Подсказка
Сначала приведите числитель к виду (x − 2), умножив неравенство на −1 и сменив знак.
Решение
Умножим обе части на \(-1\) и сменим знак неравенства: \(\dfrac{x - 2}{x + 3} \le 0\).
Нули: \(x = 2\) (числитель, точка закрашена) и \(x = -3\) (знаменатель, точка выколота). Знаки справа налево: «+», «−», «+».
Нужен знак «−» вместе с нулём числителя: \((-3;\ 2]\).
Ответ
Решите неравенство (x − 5)²(x + 2) > 0.
Подсказка
Множитель (x − 5)² не отрицателен и обращается в нуль только при x = 5. Через корень чётной кратности знак не меняется.
Решение
Нули: \(x = -2\) (простой) и \(x = 5\) (кратности 2).
Справа от \(5\) произведение положительно. Через \(x = 5\) знак не меняется: на \((-2;\ 5)\) тоже «+». Через \(x = -2\) знак меняется: на \((-\infty;\ -2)\) — «−».
Неравенство строгое, поэтому \(x = 5\) (там произведение равно нулю) выкалываем: \((-2;\ 5) \cup (5;\ +\infty)\).
Ответ
Решите неравенство (x + 1)/(x − 2) ≥ 3.
Подсказка
Перенесите 3 влево и приведите к общему знаменателю. Умножать на x − 2 нельзя — его знак неизвестен.
Решение
\(\dfrac{x + 1}{x - 2} - 3 \ge 0\), то есть \(\dfrac{x + 1 - 3x + 6}{x - 2} \ge 0\), или \(\dfrac{7 - 2x}{x - 2} \ge 0\).
Умножим на \(-1\): \(\dfrac{2x - 7}{x - 2} \le 0\). Нули: \(x = 3{,}5\) (закрашена) и \(x = 2\) (выколота).
Знаки справа налево: «+», «−», «+». Ответ: \((2;\ 3{,}5]\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на листе прямую и отметьте на ней «станции» — нули множителей. Предложите ребёнку подставить в выражение по одному числу из каждого промежутка и записать знак. Он сам увидит, что знак меняется только на станциях и что справа всегда плюс. После этого правило змейки станет очевидным, а не выученным.
Вопросы для проверки понимания: 1) Почему на самом правом промежутке выражение \((x - 2)(x + 7)\) положительно? 2) Почему точку, где знаменатель равен нулю, нельзя включать в ответ даже при знаке «≥»? 3) Почему через корень \((x - 3)^2\) знак не меняется?
На что обратить внимание. Чаще всего ошибаются в двух местах: забывают перевернуть множитель \((a - x)\) и путают круглые и квадратные скобки в ответе. Попросите ребёнка проверять ответ подстановкой одного числа из найденного промежутка и одного — из соседнего.