Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 17

Упражнение 294 к § 17

§ 17. Решение неравенств методом интервалов · тема: Решение неравенств методом интервалов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите неравенство: $\dfrac{x - 5}{x + 6} < 0$ .

Решение

Знак дроби совпадает со знаком произведения числителя и знаменателя при всех $$x$$ , где знаменатель не равен нулю.

Нуль числителя: $$5$$ — точка выколота. Нуль знаменателя: $$-6$$ — точка выколота всегда.

Знаки справа налево: $(5;\ +\infty)$ — «+», $(-6;\ 5)$ — «−», $(-\infty;\ -6)$ — «+».

Выбираем промежутки со знаком «−»: $(-6;\ 5)$ .

Ответ

(−6; 5)

Почему так

Знак дроби совпадает со знаком произведения числителя и знаменателя, а нуль знаменателя всегда выколот.

Подробнее — в теме «Решение неравенств методом интервалов».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите неравенство: $\dfrac{1{,}4 - x}{x + 3{,}8} < 0$ .

Решение

Умножим на $$-1$$ и сменим знак: $\dfrac{x - 1{,}4}{x + 3{,}8} > 0$ .

Нуль числителя: $$1{,}4$$ — точка выколота. Нуль знаменателя: $$-3{,}8$$ — точка выколота всегда.

Знаки справа налево: $(1{,}4;\ +\infty)$ — «+», $(-3{,}8;\ 1{,}4)$ — «−», $(-\infty;\ -3{,}8)$ — «+».

Выбираем промежутки со знаком «+»: $(-\infty;\ -3{,}8) \cup (1{,}4;\ +\infty)$ .

Ответ

(−∞; −3,8) ∪ (1,4; +∞)

Почему так

Знак дроби совпадает со знаком произведения числителя и знаменателя, а нуль знаменателя всегда выколот.

Подробнее — в теме «Решение неравенств методом интервалов».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решите неравенство: $\dfrac{2x}{x - 1{,}6} > 0$ .

Решение

Разделим на $$2 > 0$$ , получим $\dfrac{x}{x - 1{,}6} > 0$ .

Нуль числителя: $$0$$ — точка выколота. Нуль знаменателя: $$1{,}6$$ — точка выколота всегда.

Знаки справа налево: $(1{,}6;\ +\infty)$ — «+», $(0;\ 1{,}6)$ — «−», $(-\infty;\ 0)$ — «+».

Выбираем промежутки со знаком «+»: $(-\infty;\ 0) \cup (1{,}6;\ +\infty)$ .

Ответ

(−∞; 0) ∪ (1,6; +∞)

Почему так

Знак дроби совпадает со знаком произведения числителя и знаменателя, а нуль знаменателя всегда выколот.

Подробнее — в теме «Решение неравенств методом интервалов».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решите неравенство: $\dfrac{5x - 1{,}5}{x - 4} > 0$ .

Решение

$$5x - 1{,}5 = 5(x - 0{,}3)$$ , делим на $$5$$ , получим $\dfrac{x - 0{,}3}{x - 4} > 0$ .

Нуль числителя: $$0{,}3$$ — точка выколота. Нуль знаменателя: $$4$$ — точка выколота всегда.

Знаки справа налево: $(4;\ +\infty)$ — «+», $(0{,}3;\ 4)$ — «−», $(-\infty;\ 0{,}3)$ — «+».

Выбираем промежутки со знаком «+»: $(-\infty;\ 0{,}3) \cup (4;\ +\infty)$ .

Ответ

(−∞; 0,3) ∪ (4; +∞)

Почему так

Знак дроби совпадает со знаком произведения числителя и знаменателя, а нуль знаменателя всегда выколот.

Подробнее — в теме «Решение неравенств методом интервалов».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решите неравенство: $\dfrac{5x + 1}{x - 2} > 0$ .

Решение

$5x + 1 = 5\left(x + \dfrac{1}{5}\right)$ , делим на $$5$$ , получим $\dfrac{x + \frac{1}{5}}{x - 2} > 0$ .

Нуль числителя: $-\dfrac{1}{5}$ — точка выколота. Нуль знаменателя: $$2$$ — точка выколота всегда.

Знаки справа налево: $(2;\ +\infty)$ — «+», $(-\dfrac{1}{5};\ 2)$ — «−», $(-\infty;\ -\dfrac{1}{5})$ — «+».

Выбираем промежутки со знаком «+»: $(-\infty;\ -\dfrac{1}{5}) \cup (2;\ +\infty)$ .

Ответ

(−∞; −1/5) ∪ (2; +∞)

Почему так

Знак дроби совпадает со знаком произведения числителя и знаменателя, а нуль знаменателя всегда выколот.

Подробнее — в теме «Решение неравенств методом интервалов».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решите неравенство: $\dfrac{3x}{2x + 9} < 0$ .

Решение

$\dfrac{3x}{2x + 9} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{x}{x + 4{,}5}$ , поэтому неравенство равносильно $\dfrac{x}{x + 4{,}5} < 0$ .

Нуль числителя: $$0$$ — точка выколота. Нуль знаменателя: $$-4{,}5$$ — точка выколота всегда.

Знаки справа налево: $(0;\ +\infty)$ — «+», $(-4{,}5;\ 0)$ — «−», $(-\infty;\ -4{,}5)$ — «+».

Выбираем промежутки со знаком «−»: $(-4{,}5;\ 0)$ .

Ответ

(−4,5; 0)

Почему так

Знак дроби совпадает со знаком произведения числителя и знаменателя, а нуль знаменателя всегда выколот.

Подробнее — в теме «Решение неравенств методом интервалов».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки