Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 17

Упражнение 296 к § 17

§ 17. Решение неравенств методом интервалов · тема: Решение неравенств методом интервалов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найдите множество решений неравенства: $\dfrac{x - 1}{x - 3} \ge 0$ .

Решение

Знак дроби совпадает со знаком произведения числителя и знаменателя при всех $$x$$ , где знаменатель не равен нулю.

Нуль числителя: $$1$$ — точка закрашена (неравенство нестрогое). Нуль знаменателя: $$3$$ — точка выколота всегда.

Знаки справа налево: $(3;\ +\infty)$ — «+», $(1;\ 3)$ — «−», $(-\infty;\ 1)$ — «+».

Выбираем промежутки со знаком «+» и добавляем закрашенные точки: $(-\infty;\ 1] \cup (3;\ +\infty)$ .

Ответ

(−∞; 1] ∪ (3; +∞)

Почему так

Знак дроби совпадает со знаком произведения числителя и знаменателя, а нуль знаменателя всегда выколот.

Подробнее — в теме «Решение неравенств методом интервалов».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найдите множество решений неравенства: $\dfrac{x + 6}{x - 5} \le 0$ .

Решение

Нуль числителя: $$-6$$ — точка закрашена (неравенство нестрогое). Нуль знаменателя: $$5$$ — точка выколота всегда.

Знаки справа налево: $(5;\ +\infty)$ — «+», $(-6;\ 5)$ — «−», $(-\infty;\ -6)$ — «+».

Выбираем промежутки со знаком «−» и добавляем закрашенные точки: $[-6;\ 5)$ .

Ответ

[−6; 5)

Почему так

Знак дроби совпадает со знаком произведения числителя и знаменателя, а нуль знаменателя всегда выколот.

Подробнее — в теме «Решение неравенств методом интервалов».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найдите множество решений неравенства: $\dfrac{2 - x}{x} \ge 0$ .

Решение

Умножим на $$-1$$ и сменим знак: $\dfrac{x - 2}{x} \le 0$ .

Нуль числителя: $$2$$ — точка закрашена (неравенство нестрогое). Нуль знаменателя: $$0$$ — точка выколота всегда.

Знаки справа налево: $(2;\ +\infty)$ — «+», $(0;\ 2)$ — «−», $(-\infty;\ 0)$ — «+».

Выбираем промежутки со знаком «−» и добавляем закрашенные точки: $(0;\ 2]$ .

Ответ

(0; 2]

Почему так

Знак дроби совпадает со знаком произведения числителя и знаменателя, а нуль знаменателя всегда выколот.

Подробнее — в теме «Решение неравенств методом интервалов».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найдите множество решений неравенства: $\dfrac{3 - 2x}{x - 1} \le 0$ .

Решение

$$3 - 2x = -2(x - 1{,}5)$$ . Разделим на $$-2$$ и сменим знак: $\dfrac{x - 1{,}5}{x - 1} \ge 0$ .

Нуль числителя: $$1{,}5$$ — точка закрашена (неравенство нестрогое). Нуль знаменателя: $$1$$ — точка выколота всегда.

Знаки справа налево: $(1{,}5;\ +\infty)$ — «+», $(1;\ 1{,}5)$ — «−», $(-\infty;\ 1)$ — «+».

Выбираем промежутки со знаком «+» и добавляем закрашенные точки: $(-\infty;\ 1) \cup [1{,}5;\ +\infty)$ .

Ответ

(−∞; 1) ∪ [1,5; +∞)

Почему так

Знак дроби совпадает со знаком произведения числителя и знаменателя, а нуль знаменателя всегда выколот.

Подробнее — в теме «Решение неравенств методом интервалов».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Найдите множество решений неравенства: $\dfrac{7x - 2}{1 - x} \ge 0$ .

Решение

$7x - 2 = 7\left(x - \dfrac{2}{7}\right)$ , $$1 - x = -(x - 1)$$ . Получаем $\dfrac{x - \frac{2}{7}}{x - 1} \le 0$ .

Нуль числителя: $\dfrac{2}{7}$ — точка закрашена (неравенство нестрогое). Нуль знаменателя: $$1$$ — точка выколота всегда.

Знаки справа налево: $(1;\ +\infty)$ — «+», $(\dfrac{2}{7};\ 1)$ — «−», $(-\infty;\ \dfrac{2}{7})$ — «+».

Выбираем промежутки со знаком «−» и добавляем закрашенные точки: $[\dfrac{2}{7};\ 1)$ .

Ответ

[2/7; 1)

Почему так

Знак дроби совпадает со знаком произведения числителя и знаменателя, а нуль знаменателя всегда выколот.

Подробнее — в теме «Решение неравенств методом интервалов».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Найдите множество решений неравенства: $\dfrac{1 - 11x}{2x - 3} \le 0$ .

Решение

$1 - 11x = -11\left(x - \dfrac{1}{11}\right)$ , $$2x - 3 = 2(x - 1{,}5)$$ . Разделим на $-\dfrac{11}{2}$ и сменим знак: $\dfrac{x - \frac{1}{11}}{x - 1{,}5} \ge 0$ .

Нуль числителя: $\dfrac{1}{11}$ — точка закрашена (неравенство нестрогое). Нуль знаменателя: $$1{,}5$$ — точка выколота всегда.

Знаки справа налево: $(1{,}5;\ +\infty)$ — «+», $(\dfrac{1}{11};\ 1{,}5)$ — «−», $(-\infty;\ \dfrac{1}{11})$ — «+».

Выбираем промежутки со знаком «+» и добавляем закрашенные точки: $(-\infty;\ \dfrac{1}{11}] \cup (1{,}5;\ +\infty)$ .

Ответ

(−∞; 1/11] ∪ (1,5; +∞)

Почему так

Знак дроби совпадает со знаком произведения числителя и знаменателя, а нуль знаменателя всегда выколот.

Подробнее — в теме «Решение неравенств методом интервалов».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки