Упражнение 297 к § 17

Перенесём 2 влево: \(\dfrac{x - 8 - 2(x + 4)}{x + 4} > 0\), то есть \(\dfrac{-x - 16}{x + 4} > 0\).

Умножим на \(-1\) и сменим знак неравенства, получим \(\dfrac{x + 16}{x + 4} < 0\).

Нуль числителя: \(-16\) — точка выколота. Нуль знаменателя: \(-4\) — точка выколота всегда.

Знаки справа налево: \((-4;\ +\infty)\) — «+», \((-16;\ -4)\) — «−», \((-\infty;\ -16)\) — «+».

Выбираем промежутки со знаком «−»: \((-16;\ -4)\).

\(\dfrac{3 - x - (x - 2)}{x - 2} < 0\), то есть \(\dfrac{5 - 2x}{x - 2} < 0\).

\(5 - 2x = -2(x - 2{,}5)\); делим на \(-2\) и меняем знак: \(\dfrac{x - 2{,}5}{x - 2} > 0\).

Нуль числителя: \(2{,}5\) — точка выколота. Нуль знаменателя: \(2\) — точка выколота всегда.

Знаки справа налево: \((2{,}5;\ +\infty)\) — «+», \((2;\ 2{,}5)\) — «−», \((-\infty;\ 2)\) — «+».

Выбираем промежутки со знаком «+»: \((-\infty;\ 2) \cup (2{,}5;\ +\infty)\).

\(\dfrac{7x - 1 - 5x}{x} > 0\), то есть \(\dfrac{2x - 1}{x} > 0\), или \(\dfrac{x - 0{,}5}{x} > 0\).

Нуль числителя: \(0{,}5\) — точка выколота. Нуль знаменателя: \(0\) — точка выколота всегда.

Знаки справа налево: \((0{,}5;\ +\infty)\) — «+», \((0;\ 0{,}5)\) — «−», \((-\infty;\ 0)\) — «+».

Выбираем промежутки со знаком «+»: \((-\infty;\ 0) \cup (0{,}5;\ +\infty)\).

\(\dfrac{6 - 2x - 3(x + 4)}{x + 4} > 0\), то есть \(\dfrac{-5x - 6}{x + 4} > 0\).

\(-5x - 6 = -5(x + 1{,}2)\); делим на \(-5\) и меняем знак: \(\dfrac{x + 1{,}2}{x + 4} < 0\).

Нуль числителя: \(-1{,}2\) — точка выколота. Нуль знаменателя: \(-4\) — точка выколота всегда.

Знаки справа налево: \((-1{,}2;\ +\infty)\) — «+», \((-4;\ -1{,}2)\) — «−», \((-\infty;\ -4)\) — «+».

Выбираем промежутки со знаком «−»: \((-4;\ -1{,}2)\).