Упражнение 298 к § 17

\(\dfrac{5x + 4 - 4x}{x} < 0\), то есть \(\dfrac{x + 4}{x} < 0\).

Нуль числителя: \(-4\) — точка выколота. Нуль знаменателя: \(0\) — точка выколота всегда.

Знаки справа налево: \((0;\ +\infty)\) — «+», \((-4;\ 0)\) — «−», \((-\infty;\ -4)\) — «+».

Выбираем промежутки со знаком «−»: \((-4;\ 0)\).

\(\dfrac{6x + 1 - (x + 1)}{x + 1} > 0\), то есть \(\dfrac{5x}{x + 1} > 0\), или \(\dfrac{x}{x + 1} > 0\).

Нуль числителя: \(0\) — точка выколота. Нуль знаменателя: \(-1\) — точка выколота всегда.

Знаки справа налево: \((0;\ +\infty)\) — «+», \((-1;\ 0)\) — «−», \((-\infty;\ -1)\) — «+».

Выбираем промежутки со знаком «+»: \((-\infty;\ -1) \cup (0;\ +\infty)\).

\(\dfrac{x - 2(x - 1)}{x - 1} \ge 0\), то есть \(\dfrac{2 - x}{x - 1} \ge 0\).

Умножим на \(-1\) и сменим знак неравенства, получим \(\dfrac{x - 2}{x - 1} \le 0\).

Нуль числителя: \(2\) — точка закрашена (неравенство нестрогое). Нуль знаменателя: \(1\) — точка выколота всегда.

Знаки справа налево: \((2;\ +\infty)\) — «+», \((1;\ 2)\) — «−», \((-\infty;\ 1)\) — «+».

Выбираем промежутки со знаком «−» и добавляем закрашенные точки: \((1;\ 2]\).

\(\dfrac{3x - 1 - (x + 2)}{x + 2} \ge 0\), то есть \(\dfrac{2x - 3}{x + 2} \ge 0\), или \(\dfrac{x - 1{,}5}{x + 2} \ge 0\).

Нуль числителя: \(1{,}5\) — точка закрашена (неравенство нестрогое). Нуль знаменателя: \(-2\) — точка выколота всегда.

Знаки справа налево: \((1{,}5;\ +\infty)\) — «+», \((-2;\ 1{,}5)\) — «−», \((-\infty;\ -2)\) — «+».

Выбираем промежутки со знаком «+» и добавляем закрашенные точки: \((-\infty;\ -2) \cup [1{,}5;\ +\infty)\).