Задача 1
Из чисел 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, 7, −7 выберите корни уравнения \(x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 = 0\). Какие числа можно исключить сразу, не подставляя? (повышенной трудности)
Решение
Все коэффициенты целые, свободный член \(98 = 2 \cdot 7^2\). По теореме о целых корнях целый корень — делитель числа \(98\). Числа \(\pm 3\) и \(\pm 4\) не делят \(98\), их исключаем сразу.
Проверим остальные, \(P(x) = x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98\):
\(P(1) = 1 - 1 - 51 + 49 + 98 = 96 \ne 0\);
\(P(-1) = 1 + 1 - 51 - 49 + 98 = 0\);
\(P(2) = 16 - 8 - 204 + 98 + 98 = 0\);
\(P(-2) = 16 + 8 - 204 - 98 + 98 = -180 \ne 0\);
\(P(7) = 2401 - 343 - 2499 + 343 + 98 = 0\);
\(P(-7) = 2401 + 343 - 2499 - 343 + 98 = 0\).
Корни из списка: \(-7,\ -1,\ 2,\ 7\). Уравнение четвёртой степени имеет не больше четырёх корней, так что других корней нет.
Ответ
Целый корень уравнения с целыми коэффициентами — делитель свободного члена.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».