Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 18

Упражнение 302 к § 18

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите уравнение $$x^3 - 4x^2 + 3x + 2 = 0$$ (повышенной трудности).

Решение

Целые корни ищем среди делителей числа $$2$$ — это $\pm 1,\ \pm 2$ . При $$x = 2$$ , получаем $$8 - 16 + 6 + 2 = 0$$ — корень.

Делим на $$x - 2$$ , получаем $$x^3 - 4x^2 + 3x + 2 = (x - 2)(x^2 - 2x - 1)$$ .

$$x^2 - 2x - 1 = 0$$ , $$D = 4 + 4 = 8$$ , $x = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$ .

Ответ

2; 1 − √2; 1 + √2

Почему так

Найдя целый корень a, многочлен делят на x − a и решают квадратное уравнение.

Условие (кратко)

б) Решите уравнение $$x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12 = 0$$ (повышенной трудности).

Решение

Делители числа $$12$$ — это $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 4,\ \pm 6,\ \pm 12$ . При $$x = 1$$ , получаем $$1 + 2 - 7 - 8 + 12 = 0$$ — корень.

Делим на $$x - 1$$ , получаем $$x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x^3 + 3x^2 - 4x - 12)$$ .

Второй множитель разложим группировкой: $$x^2(x + 3) - 4(x + 3) = (x + 3)(x^2 - 4) = (x + 3)(x - 2)(x + 2)$$ .

Корни: $1,\ -3,\ 2,\ -2$ .

Ответ

−3; −2; 1; 2

Почему так

Подбор целого корня понижает степень, дальше помогает разложение на множители.