Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 18

Упражнение 303 к § 18

Задача 1

Условие (кратко)

а) При каких значениях p равны значения двучленов $$p^3 - p^2$$ и $$8p - 12$$ ? (повышенной трудности)

Решение

$$p^3 - p^2 = 8p - 12$$ , то есть $$p^3 - p^2 - 8p + 12 = 0$$ .

Делители числа $$12$$ ; при $$p = 2$$ , получаем $$8 - 4 - 16 + 12 = 0$$ — корень.

Делим на $$p - 2$$ , получаем $$(p - 2)(p^2 + p - 6) = 0$$ . Уравнение $$p^2 + p - 6 = 0$$ даёт $$p = 2$$ и $$p = -3$$ .

Значит, $$p = 2$$ (двукратный корень) или $$p = -3$$ .

Ответ

−3; 2

Почему так

Равенство значений двучленов — это уравнение третьей степени, его решают подбором целого корня и делением.

Условие (кратко)

б) При каких значениях p равны значения двучленов $$p^3 - 3p$$ и $$p^2 + 1$$ ? (повышенной трудности)

Решение

$$p^3 - 3p = p^2 + 1$$ , то есть $$p^3 - p^2 - 3p - 1 = 0$$ .

Делители числа $$-1$$ — это $\pm 1$ . При $$p = -1$$ , получаем $$-1 - 1 + 3 - 1 = 0$$ — корень.

Делим на $$p + 1$$ , получаем $$(p + 1)(p^2 - 2p - 1) = 0$$ . Из $$p^2 - 2p - 1 = 0$$ получаем $p = 1 \pm \sqrt{2}$ .

Ответ

−1; 1 − √2; 1 + √2

Почему так

Целый корень ищут среди делителей свободного члена −1, затем делят многочлен на p + 1.