Задача 1
График функции \(y = x^4 - ax^3 - 10x^2 + 80x - 96\) пересекает ось x в точке (4; 0). Найдите a и другие точки пересечения графика с осью x (повышенной трудности).
Решение
Точка \((4;\ 0)\) на графике, значит, \(4^4 - a \cdot 4^3 - 10 \cdot 16 + 80 \cdot 4 - 96 = 0\), то есть
\(256 - 64a - 160 + 320 - 96 = 0\), \(320 - 64a = 0\), \(a = 5\).
Делим \(x^4 - 5x^3 - 10x^2 + 80x - 96\) на \(x - 4\): получаем \(x^3 - x^2 - 14x + 24\).
Делители числа \(24\); при \(x = 2\), получаем \(8 - 4 - 28 + 24 = 0\). Делим на \(x - 2\), получаем \(x^2 + x - 12 = 0\), откуда \(x = 3\) и \(x = -4\).
Другие точки пересечения: \((-4;\ 0)\), \((2;\ 0)\), \((3;\ 0)\).
Ответ
Абсцисса точки пересечения с осью x — корень многочлена, поэтому многочлен делится на x − 4.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».