Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 18

Упражнение 306 к § 18

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите уравнение $$718x^4 - 717x^2 - 1 = 0$$ (повышенной трудности).

Решение

Пусть $$y = x^2$$ . Получим $$718y^2 - 717y - 1 = 0$$ .

Сумма коэффициентов $$718 - 717 - 1 = 0$$ , поэтому $$y_1 = 1$$ . По теореме Виета $y_1 y_2 = -\dfrac{1}{718}$ , значит, $y_2 = -\dfrac{1}{718}$ .

$$x^2 = 1$$ даёт $x = \pm 1$ ; $x^2 = -\dfrac{1}{718}$ корней не имеет.

Ответ

−1; 1

Почему так

Замена y = x² сводит биквадратное уравнение к квадратному, а один его корень подбирается сразу.

Условие (кратко)

б) Решите уравнение $$206x^4 - 205x^2 - 1 = 0$$ (повышенной трудности).

Решение

Пусть $$y = x^2$$ , получаем $$206y^2 - 205y - 1 = 0$$ . Сумма коэффициентов равна нулю, поэтому $$y_1 = 1$$ , а $y_2 = -\dfrac{1}{206}$ .

$$x^2 = 1$$ даёт $x = \pm 1$ ; $x^2 = -\dfrac{1}{206}$ корней не имеет.

Ответ

−1; 1

Почему так

После замены y = x² корень y = 1 виден по нулевой сумме коэффициентов, второй — по теореме Виета.