Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 18

Упражнение 307 к § 18

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите уравнение $$(x^2 + 8x)^2 - 4(x + 4)^2 = 256$$ , используя введение новой переменной (повышенной трудности).

Решение

Заметим, что $$x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16$$ . Пусть $$y = (x + 4)^2$$ . Тогда

(y - 16)^2 - 4y = 256, \quad y^2 - 32y + 256 - 4y - 256 = 0, \quad y^2 - 36y = 0.

$$y = 0$$ или $$y = 36$$ .

$$(x + 4)^2 = 0$$ даёт $$x = -4$$ ; $$(x + 4)^2 = 36$$ даёт $x + 4 = \pm 6$ , то есть $$x = 2$$ или $$x = -10$$ .

Ответ

−10; −4; 2

Почему так

Выделение полного квадрата превращает x² + 8x в выражение через (x + 4)², после чего работает замена.

Условие (кратко)

б) Решите уравнение $$2(x^2 - 6x)^2 - 120(x - 3)^2 = 8$$ , используя введение новой переменной (повышенной трудности).

Решение

$$x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$$ . Пусть $$y = (x - 3)^2$$ . Тогда

2(y - 9)^2 - 120y = 8, \quad 2y^2 - 36y + 162 - 120y - 8 = 0, \quad y^2 - 78y + 77 = 0.

По теореме Виета $$y = 1$$ или $$y = 77$$ .

$$(x - 3)^2 = 1$$ , получаем $$x = 2$$ или $$x = 4$$ . $$(x - 3)^2 = 77$$ , получаем $x = 3 \pm \sqrt{77}$ .

Ответ

2; 4; 3 − √77; 3 + √77

Почему так

Выражение x² − 6x записывается через (x − 3)², и уравнение становится квадратным относительно y = (x − 3)².