Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 18

Упражнение 308 к § 18

§ 18. Некоторые приёмы решения целых уравнений · тема: Некоторые приёмы решения целых уравнений

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите уравнение $$x^3 + 11x - 108 = 0$$ (повышенной трудности).

Решение

Ищем целый корень среди делителей числа $$108$$ . При $$x = 4$$ , получаем $$64 + 44 - 108 = 0$$ — корень.

Других корней нет: уравнение равносильно $$x^3 = 108 - 11x$$ , функция $$y = x^3$$ возрастает, а $$y = 108 - 11x$$ убывает, графики пересекаются не больше одного раза.

(То же видно делением: $$(x - 4)(x^2 + 4x + 27) = 0$$ , у квадратного трёхчлена $$D = 16 - 108 < 0$$ .)

Ответ

Почему так

Возрастающая и убывающая функции принимают равные значения не больше чем при одном x.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите уравнение $$x^5 + 6x + 44 = 0$$ (повышенной трудности).

Решение

Делители числа $$44$$ — это $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4,\ \pm 11,\ \pm 22,\ \pm 44$ . Положительные не подходят (левая часть больше нуля). При $$x = -2$$ , получаем $$-32 - 12 + 44 = 0$$ — корень.

Уравнение равносильно $$x^5 = -6x - 44$$ . Функция $$y = x^5$$ возрастает, $$y = -6x - 44$$ убывает, поэтому корень единственный.

Ответ

−2

Почему так

Целый корень находится среди делителей свободного члена, а единственность следует из монотонности функций.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки