Задача 1
Какое уравнение имеет ровно один целый корень — \(x^3 - x + 3 = 0\), \(x^4 + 5x^2 + 4 = 0\), \(x^4 + x^2 - 20 = 0\) или \(x^3 - 5x + 4 = 0\)? (повышенной трудности)
Решение
-
\(x^3 - x + 3 = 0\). Делители числа \(3\) — это \(\pm 1,\ \pm 3\). Значения левой части: \(3,\ 3,\ 27,\ -21\) — ни одного нуля, целых корней нет.
-
\(x^4 + 5x^2 + 4 = 0\). Но \(x^4 + 5x^2 + 4 > 0\) при любом \(x\) — корней нет вообще.
-
\(x^4 + x^2 - 20 = 0\). Пусть \(y = x^2\), тогда \(y^2 + y - 20 = 0\), \(y = 4\) или \(y = -5\). Отсюда \(x = \pm 2\) — два целых корня.
-
\(x^3 - 5x + 4 = 0\). При \(x = 1\) получаем \(1 - 5 + 4 = 0\). Делим на \(x - 1\), получаем \(x^2 + x - 4 = 0\), \(x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}\) — числа не целые. Целый корень один.
Ответ
Целые корни проверяют среди делителей свободного члена, остальные корни находят после деления на x − a.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».