Задача 1
Условие (кратко)
Решите возвратное уравнение \(10x^4 - 77x^3 + 150x^2 - 77x + 10 = 0\) (повышенной трудности).
Решение
\(x = 0\) не корень. Делим на \(x^2\) и группируем:
\[10\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) - 77\left(x + \dfrac{1}{x}\right) + 150 = 0.\]
Пусть \(y = x + \dfrac{1}{x}\), тогда \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = y^2 - 2\):
\[10(y^2 - 2) - 77y + 150 = 0, \quad 10y^2 - 77y + 130 = 0.\]
\(D = 5929 - 5200 = 729 = 27^2\), \(y = \dfrac{77 \pm 27}{20}\), то есть \(y = 5{,}2\) или \(y = 2{,}5\).
\(x + \dfrac{1}{x} = 2{,}5\), получаем \(2x^2 - 5x + 2 = 0\), \(x = 2\) или \(x = \dfrac{1}{2}\).
\(x + \dfrac{1}{x} = 5{,}2\), получаем \(5x^2 - 26x + 5 = 0\), \(x = 5\) или \(x = \dfrac{1}{5}\).
Ответ
1/5; 1/2; 2; 5
Почему так
Возвратное уравнение делят на x² и решают заменой y = x + 1/x.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».