Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что если m — корень уравнения \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0\), где \(a \ne 0\), то число 1/m тоже корень этого уравнения (повышенной трудности).
Решение
Так как \(m\) — корень, \(am^4 + bm^3 + cm^2 + bm + a = 0\).
Число \(m \ne 0\): при \(m = 0\) равенство дало бы \(a = 0\), а по условию \(a \ne 0\). Значит, обратное число \(\dfrac{1}{m}\) существует.
Разделим равенство на \(m^4\):
\[a + \dfrac{b}{m} + \dfrac{c}{m^2} + \dfrac{b}{m^3} + \dfrac{a}{m^4} = 0.\]
Переставив слагаемые, получим
\[a\left(\dfrac{1}{m}\right)^4 + b\left(\dfrac{1}{m}\right)^3 + c\left(\dfrac{1}{m}\right)^2 + b \cdot \dfrac{1}{m} + a = 0,\]
то есть \(\dfrac{1}{m}\) обращает уравнение в верное равенство — это корень.
Ответ
Доказано — после деления равенства для m на m⁴ получается то же уравнение для 1/m.
Почему так
Коэффициенты возвратного уравнения симметричны, поэтому вместе с m его корень и 1/m.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».