Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 19

Упражнение 358 к § 19

§ 19. Уравнение с двумя переменными и его график · тема: Уравнение с двумя переменными и его график

Задача 1

Условие (кратко)

а) Определить, что является графиком уравнения (x + y)/3 = 1: прямая, гипербола, парабола, окружность или ни одно из этого.

Решение

Умножим обе части на 3: $$x + y = 3$$ . Это линейное уравнение вида $$ax + by = c$$ с $$a = b = 1$$ , его график — прямая.

Ответ

Прямая

Почему так

Уравнение вида ax + by = c, где a и b не равны нулю одновременно, задаёт прямую.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Определить вид графика уравнения x² + 0,5y = 4: прямая, гипербола, парабола, окружность или ни одно из этого.

Решение

Выразим $$y$$ : $0{,}5y = 4 - x^2$ , $\ y = -2x^2 + 8$ . Это уравнение вида $$y = ax^2 + bx + c$$ с $a = -2 \ne 0$ — парабола, ветви вниз.

Ответ

Парабола

Почему так

Уравнение приводится к виду y = ax² + bx + c с a ≠ 0, а это парабола.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Определить вид графика уравнения 8 + 3xy = 4: прямая, гипербола, парабола, окружность или ни одно из этого.

Решение

$$3xy = 4 - 8 = -4$$ , $\ xy = -\dfrac{4}{3}$ . Это уравнение вида $$xy = k$$ с $k = -\dfrac{4}{3} \ne 0$ — гипербола, ветви во II и IV четвертях.

Ответ

Гипербола

Почему так

Уравнение приводится к виду xy = k, k ≠ 0, — это гипербола.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Определить вид графика уравнения x² + y² − 16 = 0: прямая, гипербола, парабола, окружность или ни одно из этого.

Решение

$$x^2 + y^2 = 16 = 4^2$$ — окружность с центром в начале координат и радиусом $$4$$ .

Ответ

Окружность

Почему так

Уравнение x² + y² = r² задаёт окружность радиуса r с центром в начале координат.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Определить вид графика уравнения x² − 2x − y = 0: прямая, гипербола, парабола, окружность или ни одно из этого.

Решение

$$y = x^2 - 2x$$ — квадратичная функция с $$a = 1 > 0$$ , её график — парабола с ветвями вверх и вершиной $(1;\ -1)$ .

Ответ

Парабола

Почему так

Уравнение вида y = ax² + bx + c с a ≠ 0 задаёт параболу.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Определить вид графика уравнения xy = 6: прямая, гипербола, парабола, окружность или ни одно из этого.

Решение

Уравнение вида $$xy = k$$ с $$k = 6 > 0$$ — гипербола с ветвями в I и III четвертях.

Ответ

Гипербола

Почему так

Уравнение xy = k, k ≠ 0, задаёт гиперболу.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 7

Условие (кратко)

ж) Определить вид графика уравнения x² − y² = 0: прямая, гипербола, парабола, окружность или ни одно из этого.

Решение

Разложим на множители: $$(x - y)(x + y) = 0$$ . Произведение равно нулю, когда $$y = x$$ или $$y = -x$$ .

График — пара пересекающихся прямых $$y = x$$ и $$y = -x$$ . Это не одна прямая, не гипербола, не парабола и не окружность, то есть уравнение не относится ни к одному из перечисленных видов.

Ответ

Ни к одному из видов — это пара прямых y = x и y = −x

Почему так

Разность квадратов раскладывается на множители, и график распадается на две прямые.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 8

Условие (кратко)

з) Определить вид графика уравнения x² + y² = 4: прямая, гипербола, парабола, окружность или ни одно из этого.

Решение

$$x^2 + y^2 = 2^2$$ — окружность с центром в начале координат и радиусом $$2$$ .

Ответ

Окружность

Почему так

Уравнение x² + y² = r² задаёт окружность с центром O(0; 0).

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 9

Условие (кратко)

и) Определить вид графика уравнения 2x = 3y: прямая, гипербола, парабола, окружность или ни одно из этого.

Решение

$$2x - 3y = 0$$ , то есть $y = \dfrac{2}{3}x$ — прямая, проходящая через начало координат.

Ответ

Прямая

Почему так

Линейное уравнение ax + by = c задаёт прямую.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 10

Условие (кратко)

к) Определить вид графика уравнения 8x + 3y = 0: прямая, гипербола, парабола, окружность или ни одно из этого.

Решение

$y = -\dfrac{8}{3}x$ — прямая, проходящая через начало координат.

Ответ

Прямая

Почему так

Линейное уравнение ax + by = c задаёт прямую.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Задача 9

Задача 10

Похожие задачи для тренировки