Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что графиком уравнения x² + y² − 6(x − y) = 7 является окружность (повышенной трудности).
Решение
Раскроем скобки и сгруппируем: \((x^2 - 6x) + (y^2 + 6y) = 7\).
Выделим полные квадраты: \(x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9\), \(\ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9\).
Получаем \((x - 3)^2 - 9 + (y + 3)^2 - 9 = 7\), то есть
\[(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 25.\]
Это уравнение окружности с центром \((3;\ -3)\) и радиусом \(5\), что и требовалось доказать.
Ответ
Уравнение равносильно (x − 3)² + (y + 3)² = 25 — окружность с центром (3; −3) и радиусом 5
Почему так
Выделение полных квадратов приводит уравнение к виду (x − a)² + (y − b)² = r².
Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».