Задача 1
Условие (кратко)
Что является графиком уравнения (2x + y)²/4 − (x − 0,5y)² = 24? Выбрать: 1) окружность, 2) гипербола, 3) парабола, 4) пара прямых.
Решение
\(\dfrac{(2x + y)^2}{4} = \left(\dfrac{2x + y}{2}\right)^2 = (x + 0{,}5y)^2\). Уравнение принимает вид
\[(x + 0{,}5y)^2 - (x - 0{,}5y)^2 = 24.\]
По формуле разности квадратов левая часть равна \((x + 0{,}5y - x + 0{,}5y)(x + 0{,}5y + x - 0{,}5y) = y \cdot 2x = 2xy\).
\(2xy = 24\), \(\ xy = 12\) — гипербола.
Ответ
2. Гипербола
Почему так
После упрощения получается уравнение xy = 12, а это гипербола.
Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».