Задача 1
Условие (кратко)
Окружности x² + y² = 9 и x² + y² = 16 делят плоскость на круг, кольцо и внешнюю часть. Где лежат точки M(5; 5), N(1; −2), P(3,6; 0), Q(4,001; −0,5)?
Решение
Для точки \((x;\ y)\) сумма \(x^2 + y^2\) — квадрат расстояния до начала координат. Если она меньше 9, точка внутри малого круга; от 9 до 16 — в кольце; больше 16 — снаружи большой окружности.
- \(M\): \(25 + 25 = 50 > 16\) — вне большого круга.
- \(N\): \(1 + 4 = 5 < 9\) — внутри малого круга.
- \(P\): \(3{,}6^2 + 0 = 12{,}96\), \(\ 9 < 12{,}96 < 16\) — в кольце.
- \(Q\): \(4{,}001^2 + 0{,}5^2 = 16{,}008001 + 0{,}25 = 16{,}258001 > 16\) — вне большого круга.
На схематическом рисунке — две окружности с центром в начале координат радиусами 3 и 4; точка \(N\) внутри малой, \(P\) между ними, \(M\) и \(Q\) снаружи.
Ответ
N — внутри малого круга; P — в кольце; M и Q — вне большого круга
Почему так
Сравниваем квадрат расстояния до центра x² + y² с квадратами радиусов 9 и 16.
Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».