Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 20

Упражнение 384 к § 20

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ x - y = 3. \end{cases}$

Решение

Из второго уравнения $$x = y + 3$$ . Подставим в первое:

$$(y + 3)^2 + y^2 = 9$$ , $$2y^2 + 6y = 0$$ , $$2y(y + 3) = 0$$ .

$$y = 0$$ или $$y = -3$$ . Тогда $$x = 3$$ или $$x = 0$$ .

Ответ

(3; 0), (0; −3)

Почему так

Систему с линейным уравнением решают подстановкой: выражают одну переменную из линейного уравнения и подставляют в другое.

Условие (кратко)

б) Решите систему $\begin{cases} x - y = 4, \\ xy = 12. \end{cases}$

Решение

Из первого уравнения $$x = y + 4$$ . Подставим во второе:

$$(y + 4)y = 12$$ , $$y^2 + 4y - 12 = 0$$ , $$y_1 = 2$$ , $$y_2 = -6$$ .

Тогда $$x_1 = 6$$ , $$x_2 = -2$$ .

Ответ

(6; 2), (−2; −6)

Почему так

Условие (кратко)

в) Решите систему $\begin{cases} 2x - y = -1, \\ x + y^2 = 10. \end{cases}$

Решение

Из первого уравнения $$y = 2x + 1$$ . Подставим во второе:

$$x + (2x + 1)^2 = 10$$ , $$4x^2 + 5x - 9 = 0$$ .

$$D = 25 + 144 = 169$$ , $x = \dfrac{-5 \pm 13}{8}$ , $$x_1 = 1$$ , $x_2 = -\dfrac{9}{4}$ .

$y_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ , $y_2 = 2 \cdot \left(-\dfrac{9}{4}\right) + 1 = -\dfrac{7}{2}$ .

Ответ

(1; 3), (−2 1/4; −3 1/2)

Почему так