Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 20

Упражнение 385 к § 20

§ 20. Решение систем уравнений с двумя переменными · тема: Решение систем уравнений с двумя переменными

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ x - y = 4 \end{cases}$ графически и аналитически.

Решение

Графически. $$x^2 + y^2 = 16$$ — окружность с центром $(0;\ 0)$ и радиусом $$4$$ . $$x - y = 4$$ , то есть $$y = x - 4$$ , — прямая через точки $(0;\ -4)$ и $(4;\ 0)$ . Обе эти точки лежат на окружности, значит, прямая пересекает её именно в них.

Аналитически. $$x = y + 4$$ , $$(y + 4)^2 + y^2 = 16$$ , $$2y^2 + 8y = 0$$ , $$2y(y + 4) = 0$$ .

$$y = 0$$ , $$x = 4$$ или $$y = -4$$ , $$x = 0$$ .

Ответ

(4; 0), (0; −4)

Почему так

Решения системы — координаты точек пересечения графиков; аналитически их находят подстановкой.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите систему $\begin{cases} y = x^2 + 1, \\ x + 2y = 5 \end{cases}$ графически и аналитически.

Решение

Графически. $$y = x^2 + 1$$ — парабола с вершиной $(0;\ 1)$ , ветви вверх. $$x + 2y = 5$$ , то есть $y = \dfrac{5 - x}{2}$ , — прямая через точки $(1;\ 2)$ , $(5;\ 0)$ , $(-3;\ 4)$ . По рисунку точки пересечения: $(1;\ 2)$ и примерно $(-1{,}5;\ 3{,}3)$ .

Аналитически. Подставим $$y = x^2 + 1$$ во второе уравнение: $$x + 2(x^2 + 1) = 5$$ , $$2x^2 + x - 3 = 0$$ .

$$D = 1 + 24 = 25$$ , $x = \dfrac{-1 \pm 5}{4}$ , $$x_1 = 1$$ , $x_2 = -\dfrac{3}{2}$ .

$$y_1 = 1 + 1 = 2$$ , $y_2 = \dfrac{9}{4} + 1 = \dfrac{13}{4}$ .

Ответ

(1; 2), (−1 1/2; 3 1/4)

Почему так

Графический способ даёт приближённые координаты, аналитический — точные.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки