Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 20

Упражнение 387 к § 20

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите систему $\begin{cases} 6(y - x) - 50 = y, \\ y - xy = 24. \end{cases}$

Решение

Первое уравнение линейное: $$6y - 6x - 50 = y$$ , $$5y - 6x = 50$$ , $x = \dfrac{5y - 50}{6}$ .

Второе запишем как $$y(1 - x) = 24$$ . Здесь $1 - x = \dfrac{6 - 5y + 50}{6} = \dfrac{56 - 5y}{6}$ :

$y \cdot \dfrac{56 - 5y}{6} = 24$ , $$56y - 5y^2 = 144$$ , $$5y^2 - 56y + 144 = 0$$ .

$$D = 3136 - 2880 = 256$$ , $y = \dfrac{56 \pm 16}{10}$ , $$y_1 = 4$$ , $y_2 = 7{,}2$ .

$x_1 = \dfrac{20 - 50}{6} = -5$ , $x_2 = \dfrac{36 - 50}{6} = -\dfrac{7}{3}$ .

Ответ

x₁ = −5, y₁ = 4; x₂ = −2 1/3, y₂ = 7 1/5

Почему так

Систему с линейным уравнением решают подстановкой: выражают одну переменную из линейного уравнения и подставляют в другое.

Условие (кратко)

б) Решите систему $\begin{cases} p + 5t = 2(p + t), \\ pt - t = 10. \end{cases}$

Решение

Первое уравнение: $$p + 5t = 2p + 2t$$ , откуда $$p = 3t$$ .

Подставим во второе: $$3t^2 - t = 10$$ , $$3t^2 - t - 10 = 0$$ .

$$D = 1 + 120 = 121$$ , $t = \dfrac{1 \pm 11}{6}$ , $$t_1 = 2$$ , $t_2 = -\dfrac{5}{3}$ .

$$p_1 = 6$$ , $$p_2 = -5$$ .

Ответ

p₁ = 6, t₁ = 2; p₂ = −5, t₂ = −1 2/3

Почему так