Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 20

Упражнение 390 к § 20

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите систему $\begin{cases} x^2 + xy - y^2 = 11, \\ x - 2y = 1. \end{cases}$

Решение

Из второго уравнения $$x = 2y + 1$$ . Подставим в первое:

$$(2y + 1)^2 + (2y + 1)y - y^2 = 11$$ ,

$$4y^2 + 4y + 1 + 2y^2 + y - y^2 = 11$$ , $$5y^2 + 5y - 10 = 0$$ , $$y^2 + y - 2 = 0$$ .

$$y_1 = 1$$ , $$y_2 = -2$$ ; $$x_1 = 3$$ , $$x_2 = -3$$ .

Ответ

(3; 1), (−3; −2)

Почему так

Систему с линейным уравнением решают подстановкой: выражают одну переменную из линейного уравнения и подставляют в другое.

Условие (кратко)

б) Решите систему $\begin{cases} x^2 + xy - 3y = 9, \\ 3x + 2y = -1. \end{cases}$

Решение

Из второго уравнения $y = \dfrac{-1 - 3x}{2}$ . Подставим в первое и умножим обе части на два, получим

$$2x^2 + x(-1 - 3x) - 3(-1 - 3x) = 18$$ ,

$$2x^2 - x - 3x^2 + 3 + 9x = 18$$ , $$-x^2 + 8x - 15 = 0$$ , $$x^2 - 8x + 15 = 0$$ .

$$x_1 = 3$$ , $$x_2 = 5$$ ; $y_1 = \dfrac{-1 - 9}{2} = -5$ , $y_2 = \dfrac{-1 - 15}{2} = -8$ .

Ответ

(3; −5), (5; −8)

Почему так