Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 20

Упражнение 391 к § 20

§ 20. Решение систем уравнений с двумя переменными · тема: Решение систем уравнений с двумя переменными

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите способом подстановки систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 12, \\ xy = -6. \end{cases}$

Решение

$x \ne 0$ (иначе $$xy = 0$$ ), поэтому $y = -\dfrac{6}{x}$ . Подставим в первое уравнение:

$x^2 + \dfrac{36}{x^2} = 12$ , $$x^4 - 12x^2 + 36 = 0$$ , $$(x^2 - 6)^2 = 0$$ , $$x^2 = 6$$ .

$x = \sqrt{6}$ , $y = -\dfrac{6}{\sqrt{6}} = -\sqrt{6}$ или $x = -\sqrt{6}$ , $y = \sqrt{6}$ .

Ответ

(√6; −√6), (−√6; √6)

Почему так

Из уравнения xy = c выражают y = c/x и получают биквадратное уравнение.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите способом подстановки систему $\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 34, \\ xy = 20. \end{cases}$

Решение

$x \ne 0$ , поэтому $y = \dfrac{20}{x}$ , откуда

$2x^2 - \dfrac{400}{x^2} = 34$ , $$2x^4 - 34x^2 - 400 = 0$$ , $$x^4 - 17x^2 - 200 = 0$$ .

Пусть $x^2 = z \ge 0$ , тогда $$z^2 - 17z - 200 = 0$$ , $$D = 289 + 800 = 1089 = 33^2$$ , $z = \dfrac{17 \pm 33}{2}$ , $$z_1 = 25$$ , $$z_2 = -8$$ — не подходит.

$$x^2 = 25$$ , $$x = 5$$ , $$y = 4$$ или $$x = -5$$ , $$y = -4$$ .

Ответ

(5; 4), (−5; −4)

Почему так

Подстановка y = c/x сводит систему к биквадратному уравнению; отрицательное значение x² отбрасывают.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки