Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 20

Упражнение 392 к § 20

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите способом сложения систему $\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 14, \\ x^2 + 2y^2 = 18. \end{cases}$

Решение

Сложим уравнения: $$2x^2 = 32$$ , $$x^2 = 16$$ , $x = \pm 4$ .

Вычтем из второго первое: $$4y^2 = 4$$ , $$y^2 = 1$$ , $y = \pm 1$ .

Каждое значение $$x$$ сочетается с каждым значением $$y$$ .

Ответ

(4; 1), (4; −1), (−4; 1), (−4; −1)

Почему так

Способ сложения: складывая или вычитая уравнения, получают уравнение с одной переменной.

Условие (кратко)

б) Решите способом сложения систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 61, \\ x^2 - y^2 = 11. \end{cases}$

Решение

Сложим: $$2x^2 = 72$$ , $$x^2 = 36$$ , $x = \pm 6$ .

Вычтем: $$2y^2 = 50$$ , $$y^2 = 25$$ , $y = \pm 5$ .

Ответ

(6; 5), (6; −5), (−6; 5), (−6; −5)

Почему так

Способ сложения: складывая или вычитая уравнения, получают уравнение с одной переменной.

Условие (кратко)

в) Решите способом сложения систему $\begin{cases} xy + x = 56, \\ xy + y = 54. \end{cases}$

Решение

Вычтем из первого уравнения второе: $$x - y = 2$$ , $$x = y + 2$$ .

Подставим во второе: $$(y + 2)y + y = 54$$ , $$y^2 + 3y - 54 = 0$$ .

$$D = 9 + 216 = 225$$ , $y = \dfrac{-3 \pm 15}{2}$ , $$y_1 = 6$$ , $$y_2 = -9$$ ; $$x_1 = 8$$ , $$x_2 = -7$$ .

Ответ

(8; 6), (−7; −9)

Почему так

Вычитание уравнений убирает слагаемое xy, остаётся линейное уравнение.