Задача 1
Условие (кратко)
Решите систему \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ xy = 3. \end{cases}\)
Решение
Прибавим к первому уравнению удвоенное второе: \(x^2 + 2xy + y^2 = 16\), \((x + y)^2 = 16\), \(x + y = 4\) или \(x + y = -4\).
Вычтем удвоенное второе: \((x - y)^2 = 4\), \(x - y = 2\) или \(x - y = -2\).
Четыре линейные системы:
\(x + y = 4,\ x - y = 2\) → \((3;\ 1)\); \(x + y = 4,\ x - y = -2\) → \((1;\ 3)\);
\(x + y = -4,\ x - y = 2\) → \((-1;\ -3)\); \(x + y = -4,\ x - y = -2\) → \((-3;\ -1)\).
Ответ
(3; 1), (1; 3), (−1; −3), (−3; −1)
Почему так
Сумма x² + y² ± 2xy даёт полные квадраты (x ± y)², и система распадается на линейные.
Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».