Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 20

Упражнение 394 к § 20

§ 20. Решение систем уравнений с двумя переменными · тема: Решение систем уравнений с двумя переменными

Задача 1

Условие (кратко)

а) Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности $$x^2 + y^2 = 36$$ и параболы $$y = x^2 + 6$$ .

Решение

Из второго уравнения $$x^2 = y - 6$$ . Подставим в первое: $$y - 6 + y^2 = 36$$ , $$y^2 + y - 42 = 0$$ , $$y_1 = 6$$ , $$y_2 = -7$$ .

При $$y = -7$$ получаем $$x^2 = -13$$ — решений нет. При $$y = 6$$ получаем $$x^2 = 0$$ , $$x = 0$$ .

Графики имеют одну общую точку.

Ответ

(0; 6)

Почему так

Точки пересечения графиков — решения системы из их уравнений; лишние корни отсеивает условие x² ≥ 0.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружностей $$x^2 + y^2 = 16$$ и $$(x - 2)^2 + y^2 = 36$$ .

Решение

Вычтем из второго уравнения первое: $$(x - 2)^2 - x^2 = 20$$ , $$-4x + 4 = 20$$ , $$x = -4$$ .

Тогда $$y^2 = 16 - 16 = 0$$ , $$y = 0$$ .

Окружности касаются в одной точке.

Ответ

(−4; 0)

Почему так

Вычитание уравнений окружностей убирает квадраты и даёт линейное уравнение.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности $$x^2 + y^2 = 25$$ и прямой $$4x - y = 0$$ .

Решение

Из уравнения прямой $$y = 4x$$ , поэтому $$x^2 + 16x^2 = 25$$ , $x^2 = \dfrac{25}{17}$ , $x = \pm \dfrac{5}{\sqrt{17}} = \pm \dfrac{5\sqrt{17}}{17}$ .

$y = 4x = \pm \dfrac{20\sqrt{17}}{17}$ .

Приближённо $(1{,}21;\ 4{,}85)$ и $(-1{,}21;\ -4{,}85)$ .

Ответ

(5√17/17; 20√17/17), (−5√17/17; −20√17/17)

Почему так

Систему с линейным уравнением решают подстановкой: выражают одну переменную из линейного уравнения и подставляют в другое.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки