Задача 1
Условие (кратко)
Окружность \((x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25\) и прямая \(y = kx\) имеют общую точку \(M(1;\ 2)\). Найдите координаты другой общей точки, если она существует.
Решение
Точка \(M(1;\ 2)\) лежит на прямой: \(2 = k \cdot 1\), \(k = 2\), прямая \(y = 2x\).
Подставим в уравнение окружности: \((x - 4)^2 + (2x - 6)^2 = 25\),
\(x^2 - 8x + 16 + 4x^2 - 24x + 36 = 25\), \(5x^2 - 32x + 27 = 0\).
Один корень известен: \(x = 1\). По теореме Виета второй \(x = \dfrac{27}{5} = 5{,}4\), тогда \(y = 2 \cdot 5{,}4 = 10{,}8\).
Ответ
(5,4; 10,8)
Почему так
Сначала по известной точке находят k, затем решают систему из уравнений окружности и прямой.
Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».