Задача 1
Покажите с помощью графиков, что система \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = x^2 - 6 \end{cases}\) имеет четыре решения, и найдите их.
Решение
Графики. \(x^2 + y^2 = 25\) — окружность с центром \((0;\ 0)\) и радиусом \(5\). \(y = x^2 - 6\) — парабола с вершиной \((0;\ -6)\), ветви вверх. Вершина лежит ниже окружности (вне круга), а при \(x = \pm 4\) парабола уже на высоте \(y = 10\), тоже вне круга. Значит, каждая ветвь входит в круг и выходит из него — пересекает окружность дважды, всего \(4\) точки.
Решения. \(x^2 = y + 6\), подставим в первое: \(y + 6 + y^2 = 25\), \(y^2 + y - 19 = 0\), \(D = 77\), \(y = \dfrac{-1 \pm \sqrt{77}}{2}\).
\(y_1 = \dfrac{\sqrt{77} - 1}{2} \approx 3{,}89\), \(x^2 = y_1 + 6 = \dfrac{11 + \sqrt{77}}{2} \approx 9{,}89\), \(x \approx \pm 3{,}14\).
\(y_2 = -\dfrac{\sqrt{77} + 1}{2} \approx -4{,}89\), \(x^2 = \dfrac{11 - \sqrt{77}}{2} \approx 1{,}11\), \(x \approx \pm 1{,}05\).
Ответ
Число решений системы равно числу точек пересечения её графиков.
Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».