Задача 1
Решите графически систему \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ y = \dfrac{1}{2}x^2 - 10. \end{cases}\)
Решение
Первый график — окружность с центром \((0;\ 0)\) и радиусом \(10\). Второй — парабола с вершиной \((0;\ -10)\), ветви вверх; точки параболы: \((\pm 2;\ -8)\), \((\pm 4;\ -2)\), \((\pm 6;\ 8)\), \((\pm 8;\ 22)\).
Вершина параболы лежит на окружности (её нижняя точка), ещё две общие точки по рисунку — \((6;\ 8)\) и \((-6;\ 8)\).
Проверка: \(36 + 64 = 100\), \(\dfrac{1}{2} \cdot 36 - 10 = 8\) — верно. Аналитически: \(x^2 = 2y + 20\), \(y^2 + 2y - 80 = 0\), \(y = 8\) или \(y = -10\) — других точек нет.
Ответ
Координаты точек пересечения окружности и параболы — решения системы; найденные по графику точки проверяют подстановкой.
Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».