Упражнение 398 к § 20

\(xy = 6\) — гипербола \(y = \dfrac{6}{x}\) с ветвями в I и III четвертях. \(2x - 3y = 6\) — прямая \(y = \dfrac{2}{3}x - 2\) через точки \((0;\ -2)\) и \((3;\ 0)\).

Прямая пересекает каждую ветвь гиперболы один раз; по рисунку точки примерно \((4{,}9;\ 1{,}2)\) и \((-1{,}9;\ -3{,}2)\).

Уточним аналитически: \(x = 3 + 1{,}5y\), \((3 + 1{,}5y)y = 6\), \(y^2 + 2y - 4 = 0\), \(y = -1 \pm \sqrt{5}\), \(x = \dfrac{3 \pm 3\sqrt{5}}{2}\).

Первое уравнение — окружность с центром \((3;\ 4)\) и радиусом \(2\). Второе — парабола \(y = x^2\).

Точки параболы: \((1;\ 1)\), \((1{,}5;\ 2{,}25)\), \((2;\ 4)\), \((2{,}5;\ 6{,}25)\). Точка \((2;\ 4)\) лежит внутри круга (до центра расстояние \(1\)), а \((1;\ 1)\) и \((2{,}5;\ 6{,}25)\) — снаружи. Значит, парабола пересекает окружность в двух точках: одна между \(x = 1\) и \(x = 2\), другая между \(x = 2\) и \(x = 2{,}5\).

По рисунку: примерно \((1{,}6;\ 2{,}6)\) и \((2{,}4;\ 5{,}9)\). Проверка точки \((1{,}6;\ 2{,}56)\) даёт \(1{,}96 + 2{,}07 \approx 4\) — верно с точностью рисунка.