Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 20

Упражнение 399 к § 20

§ 20. Решение систем уравнений с двумя переменными · тема: Решение систем уравнений с двумя переменными

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите графически систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ x + y + 2 = 0. \end{cases}$

Решение

Окружность с центром $(0;\ 0)$ и радиусом $$4$$ ; прямая $$y = -x - 2$$ через точки $(0;\ -2)$ и $(-2;\ 0)$ проходит внутри круга и пересекает окружность в двух точках. По рисунку примерно $(1{,}6;\ -3{,}6)$ и $(-3{,}6;\ 1{,}6)$ .

Точно: $$x^2 + (x + 2)^2 = 16$$ , $$x^2 + 2x - 6 = 0$$ , $x = -1 \pm \sqrt{7}$ , $y = -x - 2 = -1 \mp \sqrt{7}$ .

Ответ

≈ (1,6; −3,6) и (−3,6; 1,6); точно (−1 + √7; −1 − √7) и (−1 − √7; −1 + √7)

Почему так

Решения системы — координаты точек пересечения окружности и прямой.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите графически систему $\begin{cases} xy = 8, \\ x + y + 3 = 0. \end{cases}$

Решение

$$xy = 8$$ — гипербола с ветвями в I и III четвертях, ближайшие к началу точки $(2\sqrt{2};\ 2\sqrt{2})$ и $(-2\sqrt{2};\ -2\sqrt{2})$ . Прямая $$y = -x - 3$$ проходит через $(0;\ -3)$ и $(-3;\ 0)$ и в III четверти идёт ближе к началу координат, чем ветвь гиперболы: например, в её точке $(-1{,}5;\ -1{,}5)$ произведение $$xy = 2{,}25 < 8$$ . Общих точек нет.

Аналитически: $$x(-x - 3) = 8$$ , $$x^2 + 3x + 8 = 0$$ , $$D = 9 - 32 < 0$$ .

Ответ

Решений нет

Почему так

Если графики не пересекаются, система не имеет решений.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решите графически систему $\begin{cases} xy - 3 = 0, \\ 2y - 3x = 3. \end{cases}$

Решение

$$xy = 3$$ — гипербола $y = \dfrac{3}{x}$ в I и III четвертях. $$2y - 3x = 3$$ — прямая $$y = 1{,}5x + 1{,}5$$ через точки $(-1;\ 0)$ и $(1;\ 3)$ .

По рисунку точки пересечения $(1;\ 3)$ и $(-2;\ -1{,}5)$ .

Проверка: $1 \cdot 3 = 3$ , $2 \cdot 3 - 3 = 3$ ; $$(-2)(-1{,}5) = 3$$ , $$-3 + 6 = 3$$ — верно.

Ответ

(1; 3), (−2; −1,5)

Почему так

Найденные по графику точки проверяют подстановкой в оба уравнения.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решите графически систему $\begin{cases} x^2 - y = 0, \\ (9x + 4)(y - 9) = 0. \end{cases}$

Решение

Первое уравнение — парабола $$y = x^2$$ . Второе выполняется, когда $$9x + 4 = 0$$ или $$y = 9$$ , — это пара прямых $x = -\dfrac{4}{9}$ и $$y = 9$$ .

Прямая $$y = 9$$ пересекает параболу в точках $(3;\ 9)$ и $(-3;\ 9)$ . Прямая $x = -\dfrac{4}{9}$ — в точке $\left(-\dfrac{4}{9};\ \dfrac{16}{81}\right)$ .

Ответ

(3; 9), (−3; 9), (−4/9; 16/81)

Почему так

Уравнение «произведение равно нулю» задаёт объединение двух прямых.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки