Задача 1
Пересекаются ли графики уравнений \(x - y = -7\) и \(x^2 + y^2 = 36\)? Найдите ответ графически, а затем аналитически.
Решение
Графически. Окружность с центром \((0;\ 0)\) и радиусом \(6\); прямая \(y = x + 7\) через точки \((0;\ 7)\) и \((-7;\ 0)\). Ближайшая к началу точка прямой — \((-3{,}5;\ 3{,}5)\), до неё \(3{,}5\sqrt{2} \approx 4{,}95 < 6\), то есть она внутри круга. Прямая пересекает окружность в двух точках.
Аналитически. \(x^2 + (x + 7)^2 = 36\), \(2x^2 + 14x + 13 = 0\), \(D = 196 - 104 = 92 > 0\) — два корня: \(x = \dfrac{-7 \pm \sqrt{23}}{2}\), \(y = x + 7 = \dfrac{7 \pm \sqrt{23}}{2}\).
Ответ
Число общих точек прямой и окружности равно числу решений квадратного уравнения после подстановки.
Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».